行列の表示方法

質問

某参考書にこのようなものが記載されていました。
Ｖは2行2列の行列式です。

Ｖ(12)Ｖ(13)Ｖ(12)=V(23)

これはどのような原理から行列V(23)が出てくるのでしょう？
またこの表示で言うと行列V(123)若しくは行列V(132)はどのような式から導き出せるのでしょうか？教えてください。よろしくお願いします。

回答No.12

guiter · ベストアンサー

補足を読ませていただいたのですが、
　V(P)=E(12)(13)(23)(123)(132)
は行列の集合なのではないでしょうか？
つまり、３つの電子のうち２つを交換する演算子(ij)としては
　(12)=(21),(13)=(31),(23)=(32)=(12)(13)(12)
なので異なるものは
　(12),(13),(23)
の３通りだけです。また、３つの置換を考えると
　(123)=(13)(12)
　(132)=(12)(13)
　(213)=(23)(21)=(23)(12)=(12)(13)(12)(12)=(12)(13)=(132)
　(231)=(21)(23)=(12)(23)=(12)(12)(13)(12)=(13)(12)=(123)
　(312)=(32)(31)=(32)(13)=(13)(12)(13)(13)=(13)(12)=(123)
　(321)=(31)(32)=(13)(32)=(13)(13)(12)(13)=(12)(13)=(132)
なので、異なるものは
　(123),(132)
の２通りだけです。
あとは、(ij)を２回作用させた恒等変換 E が存在します。
以上より、3原子で S=1/2 の時すべての置換 P に対して V(P) は
　E,(12),(13),(23),(123),(132)
の６通り存在するということを言っているのだと思います。
(　E(12)(13)(23)(123)(132) が行列の積だとは思えないので)
最後の V(P) については私はこのくらいしか考えられません。

納得がいかない場合は研究室の指導教官か先輩に尋ねてみてください。
このサイトでたまに専門性の高い質問が見られますが、
回答者の人数もどうしても減ってしまいます。
本当はここでやりとりしているよりも指導教官に尋ねたほうが良いと思いますよ。
なんといっても、参考資料を渡した本人ですからね。

お礼

これから、修士の研究内容について分からない事が出たら、恐れず指導教官に聞くようにしようと思います。私の知りたかったことについては、お陰さまで一応理解する事が出来ました。本当に有難うございました。

回答No.11

guiter

＞-U(13)|s2>|s1>|s3>
＞=U(13)|s1>|s2>|s3>
＞=-|s3>|s2>|s1>
＞となってしまい
これは１行目から２行目が間違っています。
U(12) を作用させていないのに１と２が入れ替わっています。
　U(13)|s1>|s2>|s3> = -|s3>|s2>|s1>　　…(2)
というように U(13) を |s1>|s2>|s3> に作用させた場合を書きましたが
例えば |s1>|s3>|s2> に作用させた場合は
　U(13)|s1>|s3>|s2> = -|s2>|s3>|s1>
となります。
U(13) はとにかく今現在一番左にあるものと一番右にあるものを置換します。

１つ例を見てみます。
|s1>|s2>|s3> に U(12) を２回作用させてみましょう。
１と２を２回入れ換えるのですから元に戻らなければなりません。
　U(12)U(12)|s1>|s2>|s3>
＝-U(12)|s2>|s1>|s3>
ここまではいいですね。
ここで、１と２のラベルを付け替えて U(12)|s1>|s2>|s3> としてはいけません。
いまはまだ、U(12) を１回しか作用させていませんから入れ替わったままです。
このままの状態で２回目を作用させます。
すると、
　-U(12)|s2>|s1>|s3>
＝|s1>|s2>|s3>
のようになりもとに戻りますね。

これでよろしいでしょうか？

お礼

有難うございます。やっと私も、
-U(13)|s2>|s1>|s3> =|s3>|s1>|s2>
の置換について理解する事が出来ました。

厚かましいのですが…
V(P)=E(12)(13)(23)(123)(132)
が出てくる原理と言いましょうか？どうしてこの並びになるのかと言う理由と言いましょうか？V(P)の中に(312)等が出ない理由とでも言いましょうか？

どうして3原子でS=1/2の時
V(P)=E(12)(13)(23)(123)(132)
が出てしまうのか分かりません。お願いです。素人の私が理解できるまで徹底的に教えてください。

回答No.10

guiter

少し理解が進んだ部分についての追加です。

V(13)+V(23)=1/2(2+4(s1+s2)s3)
の部分から考えると V はスピン部分のみを置換する演算子のようです。
おそらく U は空間部分を含めた置換演算子ですから、
２つの電子の空間部分のみを置換する演算子を P とすると
　U = PV
の関係になっています。

以下、V についての説明です。
電子１、電子２に対するスピンの演算子をそれぞれ s1、s2 とします。
このとき s1・s2 を考えるとその固有状態は
　|++>,|+->+|-+>,|-->　　（三重項、対称）
　|+->-|-+>　　　　　　　　（一重項、反対称）
でその固有値は三重項の場合 1/4、一重項の場合 -3/4 であることがわかります。
したがって、スピン部分のみを置換する演算子 V を
　V = (1+4s1・s2)/2
とすれば、スピン部分が対称(固有値1/4)のとき V の固有値は１
スピン部分が反対称(固有値-3/4)のとき V の固有値は－１になります。
このことから
　V(13) = (1+4s1・s3)/2
　V(23) = (1+4s2・s3)/2
と書くことが出来るので
　V(13)+V(23) = 1/2(2+4(s1+s2)・s3)
になりますね。

あとは V(P)=E(12)(13)(23)(123)(132) ですね。
過去の質問を参考にさせてもらいましたが
V(P)はユニタリー行列なのですね。
E は単位行列でしょうか。

補足

Eは単位行列です。
でもV(P)=E(12)(13)(23)(123)(132) が何処から出てきているのかまるで分かりません。No9の補足に本の前後と理解不足な所を載せました。教えてください。よろしくお願いします。

回答No.9

guiter

＞＝-U(13)|s2>|s1>|s3>
＞＝|s3>|s1>|s2>
＞になる部分が分かりません。
申し訳ないです。
考えながら回答を書いていたら式の書き方が統一されていませんでした。
２粒子、３粒子の場合の式を
　|s1>|s2> = -|s2>|s1>
　|s1>|s2>|s3> = -|s2>|s1>|s3>　　…(1)
　|s1>|s2>|s3> = -|s3>|s2>|s1>　　…(2)
から
　U(12)|s1>|s2> = -|s2>|s1>
　U(12)|s1>|s2>|s3> = -|s2>|s1>|s3>　　…(1)
　U(13)|s1>|s2>|s3> = -|s3>|s2>|s1>　　…(2)
に訂正してください。これで、納得できるかと思います。

例えば、U(12)|s1>|s2> = -|s2>|s1> の場合
状態 |s1>|s2> に置換演算子 U(12) を作用させると
電子１と電子２が入れ替わり、反対称の負号がつくので -|s2>|s1> となるというこ
とです。

U が置換演算子という前提で少しまとめをしておきます。
　U(12)＝U(21)
　U(12)^2＝１　（右辺の１は恒等演算子）
　U(123)^3＝１
したがって、U(12) の固有値は±１となります。
電子のようなスピンが半整数の粒子(フェルミオン)の場合
波動関数は半対称なので固有値が－１の場合に相当します。
また、整数スピンの粒子の場合は波動関数が対称なので固有値＋１になります。
行列 (12) は固有値が±１になる最も簡単なものになっています。

また、
　　(13)
|1/2 √3/2|
|√3/2 -1/2|
については、指摘が間違っており申し訳なかったのですが
このままでもこの行列の２乗は単位行列 E なので良さそうです。
そして、私が指摘しようと思ったのは
（123）
|-1/2 √3/2|
|√3/2 -1/2|
です。この行列の３乗が E になっていないので
巡回置換を３回行なってももとの状態に戻らないことになります。
また、U(123)=U(13)U(12) を満たしていません。
この式を満たすためには michikoremon さん訂正後の (13) から考えると
|-1/2 -√3/2|
|√3/2 -1/2|
が正しいですね。

最後に、私がまだ良くわかっていないのはＶについてです。
No4 の回答の補足における V(12)V(13)V(12)=V(23) などをみると
U と同じように置換演算子なのかとも思えます。
置換演算子なのかどうかが良くわかっていません。
置換演算子だと仮定すると V(12) を U のときと同じく最も簡単な
　|-1 0|　　　|1 0|
　| 0 1|　or |0 -1|
と取ると、どちらを選んだとしても V(13) が　　
　|a　b|
　|c　d|
のとき、 V(23) は
　|a　-b|
　|-c　d|
となると思うのですが。

まず、V が置換演算子なのかどうか？
それから、 V(P) の P や右辺の E は何を表すのか？
を補足していただけませんか。
文章が長くならないのであれば、出来るだけ多く
＞V(13)+V(23)=1/2(2+4(s1+s2)s3)
や
＞V(P)=E(12)(13)(23)(123)(132)
近辺の本文があるとありがたいです。

長くなってしまいました。

補足

分からない事があるので…もう少しお聞きします。

　|s1>|s2> = -|s2>|s1>
　|s1>|s2>|s3> = -|s2>|s1>|s3>　　…(1)
　|s1>|s2>|s3> = -|s3>|s2>|s1>　　…(2)
から
　U(12)|s1>|s2> = -|s2>|s1>
　U(12)|s1>|s2>|s3> = -|s2>|s1>|s3>　　…(1)
　U(13)|s1>|s2>|s3> = -|s3>|s2>|s1>　　…(2)
に訂正してください。これで、納得できるかと思います。

の所ですが、やはり理解できません。

-U(13)|s2>|s1>|s3>
=U(13)|s1>|s2>|s3>
=-|s3>|s2>|s1>

となってしまいどうしても|s3>|s1>|s2>
にならないのですが…何処の部分の考え方が間違っているのでしょうか？

U(ij)=-V(ij)=-1/2(1+4(si,sj))
と定義されるそうです。実は今、V(ij)の1電子のとき、2電子のとき、3電子のとき、4電子のときを計算していくのが目的なのです。

V(P)は合成スピンSの状態を表すスピン函数に作用する置換Pの表す演算子の行列V
(P)を求めるのに、任意の置換は交換(ij)の積で表されるから、交換に対する行列V(ij)が求められれば十分である。

ｎ電子系の任意のスピン函数を、例えば１番目2番目の電子に関するスピン函数で展開し
@(1,2,..,n)=α(1)α(2)@1+α(1)β(2)@2+β(1)α(2)@3+β(1)β(2)@4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……（45．1)

とする。ここに@1,@2,@3,@4はそれぞれ(3,4,...n）の電子によるスピン函数である。これに、
4(s1,s2)=2(s1x-is1y)(s2x+is2y)+2(s1x+is1y)(s2x-is2y)+4s1zs2z
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……(45．2)

を作用させれば、
4(s1,s2)@(1,2,...,n)=α(1)α(2)@1+{2β(1)α(2)-α(1)β(2)} @2+{2α(1)
β(2)-β(1)α(2)}@3+β(1)β(2)@4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……（45．3)

従って
1/2(1+4(s1,s2))@(1,2,..,n)=α(1)α(2)@1+β(1)α(2)@2+α(1)β(2)@3+β(1)β(2)@4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……(45．4)
となり、これと（４５．１）とを比較すれば、(45．1)に置換P=(12)を行った物に一致する。
従って演算子として

　　(12)=1/2(1+4(s1,s2)) ......(45.5)
なる関係が導き出せる。一般に交換(ij)なる演算子はスピン演算子によって
　　(ij)=1/2(1+4(s1,s2)) ......(45.6)
で表される。行列V(ij)はスピン函数系に(45．6)なる演算子を作用させる事によって得られる事になる。
2電子系n=2
4(s1,s2)=2{(s1+s2)^2-s1^2-s2^2}, s^2 1,2=s(s+1)=3/4
であるから
S=1ならば　　S^2=(s1+s2)^2=S(S+1)=2
V(12)=1
S=2ならば　　S^2=0
V(12)=-1
となる。
3電子系n=3
S=3/2ならば　　V(P)＝１（すべてのPに對し）
S=1/2ならば　　n=2のS=1とS=0とから、交換(12)に対してはそれぞれ+1,-1になっており第三の電子スピン函数が加わっても(12)は無関係であるから

V(12)＝
|1 0|
|0 -1|

V(E)=
|1 0|
|0 1|

又、V(13)+V(23)=1/2(2+4(s1+s2)s3)において
s1+s2=0の状態より生ずる第二對角要素は１となる。
V(13)＝
|a b|
|c d|

と置けば

V(12)=V(13)=V(12)=(23)=
|a -b|
|-c d|

であるからd=1/2を得る。交換に対する指標は一定であり、
X(12)=X(13)=X(23)=0 a=-1/2
を得る。さらにユニタリーで有るから、V(12)＾2＝１よりb=c=±√3/2となる。
今、一般にn-1個の電子系におけるV(ij)がこのようにしてつくられているとしてｎ個の電子系に對する表現行列を作ってみよう。

後の実際の使用のことを考えてV(ij)自身よりも
U(ij)=-V(ij)=-1/2(1+4(si,sj))
で定義される。

…で3電子のとき
s=1/2の場合

V(P)=E(12)(13)(23)(123)(132)

となると出ていました。
なぜ、（312)とかは必要なくてこの式が導き出せるのか、まるで分かりません。
出来るだけ噛み砕いて教えてください。よろしくお願いします。

回答No.8

prome

>おっしゃる通りで、スピンにまつわる講義です。

それでしたら、初めからそうおっしゃってる方が的確な回答を、
早く得られると思いますよ。
純粋に数学の話だと思いましたから。
ジャンルは数学ですし、質問内容をはじめ、＃４までの補足やお礼には
物理学を匂わせる言葉は一つもなかったですから。

guiterさんの回答を見て、私には何のことやらわからなくなりました。
数式は何とか追えますけど。
guiterさんの回答履歴を拝見しますと、数学にも物理学にも造詣が
深いようですね。感服いたしました。

この件についてはこれ以上私の出る幕はないようです。

ただ今回勉強になったのは、数学で学んだ群論の考えが、こうやって
物理学の分野で応用されているということ。
確か連続群論（ＳＵ(2)等いわゆる古典群と言われるもの）やトポロジーが
物理学の本に載っていたのを見たことがあります。
今の物理学専攻の方は大変ですね。数学専攻の人でも音を上げそうな
難解な理論を勉強しないといけないから。

お礼

すみません。
スピンにまつわる講義の一部の質問なのですが、私の聞きたいところは数学の分野でしたし、私が単純な数学の理解不足である事から生じている問題なのかと思っていましたので…。そこまで書き記していなかったのです申し訳ございません。これまで、熱意を持って考えてくださいまして有難うございました。これからもどうぞよろしくお願いします。

回答No.7

guiter

すみません。下の私の回答で電子の状態ケットを
スピン部分のみの状態を表すものとして書いてしまいましたが
空間部分を含めた電子の状態を表すものと読み替えて下さい。

補足

いえ。分かり易いご説明有難うございます。
ご説明いただいた中で、まだ分からない部分をNo6の補足に載せましたので…
ご説明よろしくお願いいたします。

回答No.6

guiter

電子のスピン波動関数についての議論ではないかと思います。

電子が２つのとき、それぞれの電子の状態ケットを |s1>、|s2> とします。
（ここで s1,s2 は＋－の値をとります）
電子の入れ替えに対して、波動関数のスピン部分は反対称ですから
　|s1>|s2> = -|s2>|s1>
です。そこで、電子１と電子２の入れ替えを行列
　|-1 0|
　| 0 1|
を用いて表しています。
入れ替えを２回行なうと元の状態に戻りますから
２乗して単位行列 E になる最も簡単なものが選ばれています。

次に、電子が３つになった場合を考えてみます。このときの状態は
　|s1>|s2>|s3>
のように表せますね。
１と２、１と３を入れ替えたものはそれぞれ
　|s1>|s2>|s3> = -|s2>|s1>|s3>　　…(1)
　|s1>|s2>|s3> = -|s3>|s2>|s1>　　…(2)
です。No4のお礼での (12) は先程と同じでマイナスがついています(式１)。
ここで、(13) は √3/2 のどちらかが -√3/2 の間違いではないかと思います。
そうでなければ、(13)の２乗が E になりません。
今は、
　| 1/2 √3/2|
　|-√3/2 -1/2|
とします。
このとき、
　U(123)|s1>|s2>|s3>
＝U(13)U(12)|s1>|s2>|s3>
＝-U(13)|s2>|s1>|s3>
＝|s3>|s1>|s2>
で、U(123) は 123->312 で定義されていることになります。
また、波動関数は巡回置換に対して対称になっています。
したがって、(123)は
　|-1/2 √3/2| | 1/2 √3/2||-1 0|
　|　　　　　　| = |　　　　　　||　　|
　|√3/2 -1/2| |-√3/2 1/2|| 0 1|
のように出てきます。

補足

おっしゃる通りで、スピンにまつわる講義です。

| -1/2 -√3/2|
|-√3/2 1/2|

の間違いでした。ご指摘有難うございました。
後、アドバイスいただいた中で、いま少し分からない所が有りますので、教えてください。

＞　U(123)|s1>|s2>|s3>
＞＝U(13)U(12)|s1>|s2>|s3>
＞＝-U(13)|s2>|s1>|s3>
＞＝|s3>|s1>|s2>

の中の

＞＝-U(13)|s2>|s1>|s3>
＞＝|s3>|s1>|s2>

になる部分が分かりません。

どうして
＞＝-U(13)|s2>|s1>|s3>
|s1>|s2>|s3> = -|s2>|s1>|s3>　　…(1)
を使って
=U(13)|s1>|s2>|s3>
=|s3>|s2>|s1>

にならずに、

|s3>|s1>|s2>
になるのか理解できません。教えてください。

後、3電子系の時にS＝1/2の場合
V(P)=E(12)(13)(23)(123)(132)
と表記されています。この表現行列V(P)は、どうしてこのような形を取るのか教えていただけないでしょうか？

回答No.5

prome

「群表現」ということは、群の表現論かな？
だとしたら私の手に負えないかも．．．

> 参考資料として、本の一部分のコピーを頂いたので…

何の参考資料なんでしょうか？つまり何の勉強をされているのでしょう？
群論？線型代数？物理学の計算の一部？
私にはつかめないのですが．．．

本の一部分のコピーしか手元にないということは、
その本特有の表現だったとしても、その説明の部分のコピーがないので
それが何だかわからないということですね。

ここには数学の猛者がたくさんいるのに、一つも回答がないのが
奇妙な気もする．．．

補足

多電子問題を解くための表現行列を求めるのが、私の最終的な目的なのです。
No４のお礼の欄にまだ私が理解出来ておらず、分からない部分について記載しましたので…アドバイスお願いいたします。

回答No.4

prome

> 同じような物で
> U(132)=U(12)U(13)
> と言うものが有ります。これはどのように理解したらよいのでしょうか？

これはＶの時と同じように考えると、右辺は(132)にはなりませんね。
＃３の回答で書いた置換の途中まで、すなわち

１,２,３
↓Ｖ(12)：１と２を入れかえる
２,１,３
↓Ｖ(13) ：１と３を入れかえる
２,３,１

で、(123)になりますから。
ここで(123)とは、1を2に置換し、2を3に置換し、3を1に置換するという意味。
数学用語で巡回置換というものです。

そうすると、Ｖ(123)とＵ(123)は違う意味なんでしょうかねぇ。

式の前後関係がわかれば、もっと正確なことが言えるかもしれません。
そもそもこれらの記述は何と言う本に書かれているのですか？
場合によってはその本特有の記述なのかもしれませんし。

お礼

表示で(123)とは巡回置換とご説明いただきました。
ココに関しては…

（123）
|-1/2 √3/2|
|√3/2 -1/2|

と言う表示があるのです。この（123）は、（12）や（13）の置換から導き出せるわけですよね？そうすると、どのようにして導き出せばいいのでしょう？

ちなみに
(12)
|-1 0|
| 0 1|

　　(13)
|1/2 √3/2|
|√3/2 -1/2|

　　　　　　　　　　　　　　　　です。

補足

式の前後ですか？
Ｖの方の前後の記述に関しては…

V(13)+V(23)=1/2(2+4(s1+s2)s3)においてs1+s2=0の状態より生ずる第二對角要素は１となる。
　　　　　|a b|
V(13)=　|　 　　|
　　　　　|c　d|
とおけば、　 　　 　　　　 | a b|
V(12)V(13)V(12)=V(23)=| 　　 |
　　　　 　　　　　　　　　　　　　|-c d|

であるから…
と言った感じです。

Uの前後の記述に関しては…
U(13)=U(23)U(12)U(23),U(123)=U(13)U(12),U(132)=U(12)U(13)
より他の各Uが求まる。

本名は分からないのです。参考資料として、本の一部分のコピーを頂いたので…
ですが、「群表現」と項目にはかかれています。

回答No.3

prome

Zincerさんのように、噛み砕いて説明すべきでしたね。
ちょっと端折りすぎました（ありがとうございます＞Zincerさん）。

ただこれが数学の置換の表示だとすると、
失礼ながらZincerさんの説明は少し違います。

１,２,３
↓Ｖ(12)：１と２を入れかえる
２,１,３
↓Ｖ(13) ：１と３を入れかえる
２,３,１
↓Ｖ(12) ：１と２を入れかえる
１,３,２

で、結果として２と３を入れかえたことになる、
つまりＶ(23)になるということです。

ただ疑問なのは、Ｖが2行2列の行列式である時に、
果たしてＶ(12)という風な書き方をしたかなぁということ。
Ｖ(12)と書くと、何を意味するのでしょう？

> Ｖは2行2列の行列式です。
> （中略）
> これはどのような原理から行列V(23)が出てくるのでしょう？

Ｖは行列だけれど、Ｖ(12)は行列式？

回答No.2

Zincer

数学に関しては素人ですが「置換」と言うより安易に「入れ変え」と考えてはどうでしょうか？

１,２,３
↓Ｖ(12)：１列目と２列目を入れかえる
２,１,３
↓Ｖ(13)
３,１,２
↓Ｖ(12)
１,３,２

の操作の結果は

１,２,３
↓Ｖ(23)：２列目と３列目を入れかえる
１,３,２

と、一緒ですよね。

ご参考までに。

補足

有難うございます。V(12)V(13)V(12)=V(23)の表し方については、噛み砕いたご説明のお陰で理解する事が出来ました。

後、行列の表示で聞きたいことがあるのですが…

同じような物で
U(132)=U(12)U(13)
と言うものが有ります。これはどのように理解したらよいのでしょうか？

行列の表示の上に
Ｅとか（12）とか（132）とか表示してあるものがあります。
この（12）、（123）は何を意味する表示なのでしょうか？

教えてください！よろしくお願いします。