完成すると消えてしまう集合というものはありますか？

質問

全ての要素が集合するとゼロになるというか消滅してしまうというような集合は数学的に存在が可能ですか？

回答No.6

yuntanach

No.4でMultisetについて書きましたが、それ以外にも群を考えることができるかもしれません。

加算による群の単位元を０と表すことがありますから、
全要素を合成すると単位元になることでもってゼロになったと考えることはできるかもしれませんね。

例えば、a、b、ｃの三つの要素からなる群があり、次の表によって合成が定義されていたとします。

　|a b c
-+------
a|a b c
b|b c a
c|c a b

この群の場合単位元はaになりますが、abcを計算するとaになりますから、全てを合成すると単位元すなわちゼロであると解釈可能かもしれません。

このように考えれば、ある種の群はご質問の条件をみたしているといえるのではないかと思います。

お礼

きちんと正規の過程を歩んでいない悲しさ、どうしてもはじめから論理や記号の代わりに素朴な日常生活の例にしがみついてしまいます。繰り返し拝読する事で少しでも正しい理解に近づきたいと思います。ありがとうございました。

補足

感謝＞サンクスポイント

回答No.5

grothendieck

消滅すると表現するのが適当かどうかは分かりませんが、全てのものを集めようとすると論理的に扱える範囲から消えてしまう例は知られています。
　『自分自身を要素として含まない集合』を全て集めた集合をRとします。このとき、集合RがRに要素として含まれるとすればRは自分自身を要素としない集合だけからなるということと矛盾します。また集合RがRに要素として含まれないとすればRは自分自身を要素としない集合をすべて含むということと矛盾します。このようにRがRに含まれるとしても含まれないとしても矛盾が起き、どちらとも考えられなくなってしまうことを「ラッセルのパラドックス」と呼びます。屁理屈も極まれりという感じですが、このパラドックスは数学上の重大事件であり、このために(これだけでもありませんが)集合を「ものの集まり」とする素朴集合論は崩壊してしまい、ZFなどの公理的集合論が建設されました。また「集合を全て集めた集まり」のような大きなものは集合論ではなく、categoryとfunctorで扱われるようになりました。

お礼

初歩的なところが分からないので、あれこれ迷走している私の質問に対して方向を示してくださるご教示をいただきありがたいとうございます。出来る限り勉強させていただきます。

補足

感謝＞サンクスポイント

回答No.4

yuntanach

Multisetというものがあります。これは要素が重複することを許容するように概念を拡張した集合です。例えば、ただの集合{a, b, c}に要素aを追加(あるいは、言い方をかえると集合{a}との和集合をとる)すると、もとの集合{a, b, c}になりますが、これがMultisetだと{a, a, b, c}になります。このMultisetの各要素の個数を明示的に表現してしばしば{a:2, b:1, c:1}と表記したりします。この個数の部分は上記の例だと正の整数ですが、さらに正の整数の自然な拡張として正負の整数を考えることもできます。例えば、{a:2, b:1, c:1}から{a:2, b:2}を取り除いて{a:0, b:-1, c:1}という具合になります。

われわれが義務教育で習う普通の集合とは、Multisetで要素の個数が0か1のケースに限定した特殊なものであると考えることができます。逆に、この普通の集合の概念を拡張して要素の個数を0か1に限定するのではなく、正負の整数が取れるように拡張したMultisetの世界では、足していくと空集合になるような拡張された集合の概念を非常に簡単に得ることができます。

要素を集めたものA(上の例では例えば{a, b, c})から、普通の意味での集合を作ると、その要素のとり方によってたくさんの集合ができますが、これらを集めたものを2^Aみたいに表現することがあります。この2の部分は各要素が{ある、ない}であることからきています。Multisetではこの2の部分がNであったりZであるように拡張されたのだと考えることができます。

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/Multiset.html

お礼

普通の意味での集合のことが分からない私が想像も出来ないような別の集合もあるのだというように理解してよいのでしょうか。世界は退屈とは無縁のもののように感じました。ありがとうございました。

補足

感謝＞サンクスポイント

回答No.3

shkwta

No.1の補足への回答です。
｛1, -1｝という集合はあります。集合の要素を加算すると０になりますが、集合そのものの存在とは関係がありません。

まったく関係ない話ですが、全部足したら０になるという系はいろいろ応用があります。
たとえば、電力を送るとき三相交流というのを使います。互いに120°ずつ位相のずれた３つの交流を３本の電線で送ります。これが３本の電線だけで済む理由は、３つを足せば０になるからです（需要家のところに電力が到達したら、そこで電流は消滅します）。

お礼

どうもありがとうございます。

補足

感謝＞サンクスポイント

回答No.2

SIRAKI

まるで、数の概念を正数から負数も含めて拡張するような
考え方に似ているような気がしますが、そこまでする必要性が少なくとも今の時点で見出せません。
要は、既存の数の論理で足りるように思えるからです。
ただ、もちろん、考えてみてもいいと思います。
もし、考えられるのであれば、例えば、物質と反物質の対消失などに応用できそうなものが得られそうか否かがふと疑問に思いました。

お礼

有難うございます。ご指摘の例と同じように宇宙の中に自我意識が出現できたことにも適用できないだろうかと考えています。

補足

いくつかの部品から構成されている製品があったとして、全ての部品が組み合わされて一つの完成品が出荷される状態をゼロになったとするというような考え方に何か実用性が認められるだろうかということにもなるでしょうか？

回答No.1

shkwta

ありません。空集合でない２つ以上の集合を合併して空集合になることはありません。

補足

たとえば１と－１からなる集合があった場合二つの要素が集まると０になってしまう場合でも集合そのものは存在できるのですか？