- 締切済み
極限
shkwtaの回答
- shkwta
- ベストアンサー率52% (966/1825)
証明をかんがえてみましたが、はさみうちの定理と二項定理をどこで使うかはわかりません。 まず、|a|<1とは、-1<a<1のことです。 |a|<1ですから、|a|<|b|<1となるbが存在します。このとき|a|/|b|<1です。 lim[N→∞](N/(N+1))=1ですから、N≧M ⇒|a|/|b|<N/(N+1)となる正の整数Mが存在します。したがって、N≧MとなるNについて、 |(N+1)a^(N+1)|=|((N+1)a/N)Na^N|<|b|Na^N |b|<1ですから、lim[N→∞]Na^N = 0 となります。
関連するQ&A
- はさみうちの定理を使う極限の問題です。
lim(n→∞) n*sin(π/n) の極限値を求める問題で、はさみうちの定理を使って解くことを考えたのですが ≦ n*sin(π/n) ≦ n*π/n となり、右辺の数式は見つけられたのですが、左辺に最適な数式が見つけられずにいきずまっています。答えは、πになるそうなのですが、その過程が分からなくなったので、質問させていただきました。宜しければ、ご回答お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の極限について。（ε-δ）
以下の2つがしめせません・・・ 1.lim[n->∞]((log n)^k)/n=0 (k≧0) 2.lim[n->∞](n!)^{1/n}=∞ 1.はlogの発散は遅いわけだから、極限値が0になることはわかるのですが、なかなか上から抑えられません。 2.もlim n^(1/n)=1は1+rと適当において二項定理でばらしたときにn^2が出てくる項でうまくおさえて説明できるので、その方法の改編で下から適当な定数・・・という感じでできそうに思うのですが、これまたうまくできません。 どなたか教えていただけませんでしょうか・・・。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限の問題
以前も質問させていただきましたが、わからないので教えてください。 lim(n→∞)*{a^n+b^n}^(1/n),a>0,b>0の極限を求めよ。この式にはn乗根が入っています。醜くて申し訳ありません。 まずa,bの大小で2通りに場合わけして、はさみうちを利用しそれぞれ「a.bという答え」になりました。 答えはmax{a,b}のようですが、a=bの場合を考えて、単純にlim(n→∞)*{a^n+b^n}^(1/n)をa=bにすると答えは2a=2bになると思いますが、これは模範解答の答えに含まれていません。 lim(n→∞)*{a^n+b^n}^(1/n)=lim(n→∞)*{a^n+a^n}^(1/n) =lim(n→∞)*{2*a^n}^(1/n)=2a nが消える。 何ででしょうか。挟み撃ちのときは小なりイコールのような感じでイコールのときも一括してやっているので裏目に出ませんでした。 以上をよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- この極限は一体?
an=(1・3・5・7・9…(2n-1))/(2・4・6・8・10…2n)とする。 liman(n→∞)とlimΣan(n=1→∞)を求めよって問題です。 liman(n→∞)は、an=(1-1/2)(1-1/4)(1-1/6)…((2n-1)/2n)と表せるので、 (1/2+α)^n<an<β^nとおける。(0<α<1/2、α+1/2<β<1) はさみうちの原理よりliman(n→∞)=0 困っているのはlimΣan(n=1→∞)のほうです。 どうやら無限大になるようですが証明できません。 第n項までの和はΣan=(1/2{2-(1/4{2-(1/6{2-(1/8{・・・{2-(1/2n)})とかけるのですがここからどうしたらいいか… 色々やっているうちにbn+1=2(n+1)bn+1・3・5・・・(2n+1)というあまり意味のない漸化式が出てきたり…(ちなみにbnはΣanの分子です。) f(n)<Σanとなるような無限大に発散するf(n)を見つければ解決するんでしょうか?誰か教えてくださいm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数