sinθ+cosθ=t ｔの範囲？

質問

(家庭教師にて)θは0から360°を取るとき、ｔの範囲を求める問題が小問で出ました。何個か解法を思いついて、答えは出せたのですが、どれもとてもめんどくさいやり方です。小問のわりに、時間が掛りすぎました。

1つめは、
y=sinθとy=cosθのグラフを書き、グラフ上で、足し算をして、対象性を利用して書くと最大と、最小がどこで取るかわかる。

２つめは、
半径1の円を書いて、角度45°(135°225°315°)付近は傾きの絶対値が1になることより(グラフを書けばわかる)、その付近はxの変化量とｙの変化量が同じ、しかし少しずれると、どっちかが多くなり・・・(説明が長くなりそうなので省略)。

3つ目は、
sinθ=ｘ、cosθ=yとおいて、x^2+y^2=1より、これのグラフを書き、そこにx+y=tをy=-x+ｋとおき、x^2+y^2=1をみたす、(x,y)を取りながら、グラフを動かして行き切片kが最大になる条件を割り出す(数IIの図形と式の範囲)。

です。これらの解き方だと、結構時間が掛ってしまいますし、教えるのが難しい。理解してもらうのも難しい。といった問題がありました。
もっと、すっきりした解法ってありますか？

回答No.1

postro · ベストアンサー

三角関数の合成
sinθ+cosθ=√2*sin(θ+45°)
を使うのがわかりやすいと思います。

お礼

あ～～～そうか！合成をスッカリ忘れていました。ありがとうございます。頭が固かったです。

回答No.3

ymmasayan

これが理解できる学年かどうかわかりませんが。

sinθ+cosθ=√2sin(θ+45°)
従って-√2≦t≦√2

回答No.2

shkwta

一般には単振動の合成と呼ばれている方法でできます。
ただし、この問題の場合は単純に
sinθ+cosθ=(√2)(sinθ cos(π/4)＋cosθ sin(π/4))
=(√2)sin(θ+π/4)

お礼

みなさん同じ答えなので、ポイントは先着順にします。