合成関数の偏微分法を用いた解き方
いつもお世話になっています。
以下の問題を解いてみたのですが、あっているのか自信がもてません。
（特に、(4)(5)のsinθ,cosθが含まれるケース）
間違いなど、あればご指導のほど、よろしくお願いいたします。
【問題】
「合成関数の偏微分法」を用いて、継ぐの合成関数についてZu,Zv(またはZθ,Zr)を求めよ。
(2) z=x^2-y, x=u+v, y=uv
Zu = Zx・Xu + Zy・Yu
= 2x・1+(-1)・v=2x-v
Zv = Zx・Xv + Zy・Yv
= 2x・1+(-1)・u=2x-u
(3) z=e^x・sin(y), x=u-v, y=uv
Zu = Zx・Xu + Zy・Yu
= e^x・sin(y)・1+e^x・cos(y)・v
= e^x・sin(y)+v・e^x・cos(y)
Zv = Zx・Xv + Zy・Yv
= x^x・sin(y)・(-1)+e^x・cos(y)・u
= -e^x・sin(y)+u・e^x・cos(y)
(4) z=x+y, x=r・cosθ, y=r・sinθ
Zθ= Zx・Xθ + Zy・Yθ
= (1)・(-r・sinθ)+(1)・(r・cosθ)
= (-r・sinθ)+(r・cosθ)
= -r(sinθ-cosθ)
Zr = Zx・Xr + Zy・Yr
= (1)・(cosθ)+(1)・(sinθ)
= sinθ+cosθ
(5) z=x^2+2xy, x=r・cosθ, y=r・sinθ
Zθ= Zx・Xθ + Zy・Yθ
= (2x+2y)・(-r・sinθ)+(2x)・(r・cosθ)
= 2{(x+y)(-r・sinθ)+x(r・cosθ)}
= -2r{(x+y)(sinθ)-x(cosθ)}
= -2r(x・sinθ+y・sinθ-x・cosθ)
= -2r(r・cosθ・sinθ+r・sinθ・sinθ-r・cosθ・cosθ)
= -2r^2(cosθ・sinθ+sinθ・sinθ-cosθ・cosθ)
= -2r^2(sin^2θ+cosθsinθ-cos^2θ)
Zr = Zx・Xr + Zy・Yr
= (2x+2y)・(cosθ)+(2x)・(sinθ)
= 2{(x+y)・(cosθ)+(x)・(sinθ)}
= 2{x・cosθ+y・cosθ+x・sinθ}
= 2{r・cosθ・cosθ+r・sinθ・cosθ+r・cosθ・sinθ}
= 2r{cosθ・cosθ+sinθ・cosθ+cosθ・sinθ}
= 2r{cos^2θ+2・sinθ・cosθ}
= 2r・cosθ{cosθ+2・sinθ}
以上、よろしくお願いします。
お礼
ありがとうございます。 確かにnの初期値が未定義です。 ただ、nの値はどうやって決めるか・・・ 困ったなぁ・・・orz 値はn>10くらいで収束するようなので、答えがあっているか 明日検算してみます。
補足
n=10で計算して見ると 期待値 cos(0.65)=0.79608 sin(0.65)=0.60518 計算値 cos(z)=-.1697108 sin(z)= .9854883 計算値が期待値と合わず、アルゴリズムの誤り?かどうか 検討要になってしまいました。