• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

正弦波の足し算

周波数Fの正弦波があったとき、 周波数Fの正弦波 + 周波数3*Fの正弦波は上下対称な波形になりますよね。 それなのに、 周波数Fの正弦波 + 周波数2*Fの正弦波は上下対称な波形にならないのは、どうしてでしょうか。 加法定理など使えば証明できそうのですが、 いまいちできません。 簡単な疑問だと思うのですが、よろしくお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 物理学
  • 回答数3
  • 閲覧数1875
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1

いまf=1/(2π)とします. (以下の話を,私にとって簡単にするため) こうすると信号は y1=sin t y2=sin 2t y3=sin 3t です. t 0 π/2 π 3π/2 2π y1 0 + + 0 - - 0 y2 0 + 0 - 0 + 0 - 0 t 0 π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π y1 0 + 0 - 0 y3 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 表にすると,このようになりイメージ的には分かってもらえるかと思います. 式としては sin(α+β)+sin(α-β)=2sinα×cosβ を用いると求まります. α+β=3t,α-β=tとすると α=2t,β=tなので y1+y3=2sin 2t× cos t・・・(1) となります. もう一方は α+β=2t,α-β=tとすると α=3t/2,β=t/2なので y1+y2=2sin 3t/2 × cos t/2・・・(2) となります. おっしゃるような上下対称というのは,この場合,時間をπ動かすと時間0からと符合が異なる.つまり信号をf(t)とすると f(t+π)=-f(t)・・・(3) という意味だとすると, (1)の場合 2sin 2(t+π)× cos (t+π)=-2sin 2t× cos t で上下対称となります. (2)の場合 2sin 3(t+π)/2 × cos (t+π)/2=-2cos 3t/2 ×sin t/2 となり,異なる波形になります. 以上でお分かりになられたでしょうか?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

詳しく説明していただいてありがとうございます。よくわかりました。

その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • foobar
  • ベストアンサー率44% (1423/3185)

#1さんの考え方「f(t)=-f(t+π)が成立するか否か」 をつかえば、加法定理を使う必要がなさそうな。 1. 奇数次高調波の場合 sin((2n+1)(t+π)+φ) =sin((2n+1)π+(2n+1)t+φ) =-sin((2n+1)t+φ) 2. 偶数時高調波の場合  sin((2n)(t+π)+φ) =sin(2nπ+2nt+φ) =sin(2nt+φ) が成立するから、奇数次(1,3,5,...)の成分だけからなる場合にのみ、正負対称になる、、と。 (厳密には、もうちょい言及する必要があるんでしょうけど、割愛)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2

証明するのが目的でしょうか? そうでなければグラフを書いてみれば一目瞭然ですが。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 20kHz正弦波をCDで再生するとどうなりますか

    デジタル音響の開発者または詳しい方への質問です。 今更ですが、CDにおける高周波成分の再現性について疑問があります。 サンプリング周波数の1/2以下の周波数しか記録・再生できないというサンプリング定理については、ある程度理解しているつもりです。 また、サンプリング周波数の1/2以上の信号をAD変換するとエリアシングが発生するということも、原理として理解しています。 疑問は44.1kHzで20kHzないしそれに近い周波数の信号をサンプリングして記録し、記録したデータをDA変換した場合、どの程度忠実に原波形が再現できるかということです。 20kHzを44.1kHzでサンプリングすると、1周期に2.205回しかサンプリングできません。サンプリングデータを直線でつないでも、原周波数成分は残るものの、正弦波とはかけ離れた波形になってしまいます。 20kHzまで聞こえる人は稀ですし、聞こえても相当減衰しているので、音楽再生では大きな問題にならないかもしれませんが、13kHzだと大抵の人は聞こえるし、感度もある程度あります。13kHzの場合、1周期のサンプル数は約3.4個になりますが、これでも正弦波とはかなり違います。 仮に、まずまず正弦波に近いと言えるのが1周期5サンプル以上だとすると、44.1kHzで正弦波として記録再生できるのは、せいぜい9kHz程度ということになってしまいますが、なにか考え違いをしているでしょうか? あるいは、高度なデジタル信号処理技術によって、20kHzないしそれに近い周波数も正弦波に近い形で再現できるのでしょうか? サンプリング周波数の1/2に近い高周波信号の記録・再生について図解しているサイト等があればURLをご提示いただけると幸いです。 当方、↓このようなサイトは見つけました。 http://www2.oninet.ne.jp/ts0905/deeg/deeg11.htm

  • 正弦定理はどんな三角形でも成り立つのか?

    正弦定理の証明では、鋭角鈍角直角三角形においてそれぞれなりたる事が証明されています。ということは、どんな三角形であっても正弦定理は成り立つと言えるのでしょうか

  • 正弦波と矩形波(方形波)

    正弦波と矩形波(方形波)についての質問です 同じ周波数、同じ音圧で正弦波と矩形波のそれぞれを聞くと正弦波より矩形波のほうが鮮明に聞こえますが、これは何故なのかがよくわかりません。矩形波が周波数f、3f、5f、・・・(2n-1)fの重ね合わせによる波であることが関連しているのではないかと思いますが、よくはわかりません。考え方は間違っていないですか。 回答のほうをよろしくお願いします

  • 正接の3倍角公式と正弦余弦の4倍角以降の公式

    正接の3倍角の公式と正弦・余弦それぞれ4倍角から6倍角の公式を与えられ, それを証明せよという問題が出ました. 正弦の4倍角の公式は解けたのですが,それ以外の証明ができません. それぞれの加法定理・2倍角の公式を用いて証明するにはどうすればよいでしょうか ご教授お願いします.

  • 正弦波のべき乗は,どんな物理現象を指すのか?

    正弦波のべき乗は,どんな物理現象を指すのか? こんにちは。 正弦波のべき乗の波形を人工的に作成し,パワースペクトルを求めると,基本周波数とその倍音成分のようなものが出てきました。 単なる数値実験に過ぎませんが,何かこのような振動を生み出すような物理現象が実際にありそうな気がします。 もし,このような波形を実際に観測したという方がいたら,教えてください。 参考までに,正弦波を5乗した波形とその振幅スペクトルを添付します。

  • 連続時間正弦波信号と離散時間信号

    デジタル信号処理のレポートでこんな問題が出されたんですが解き方が解らなくて苦戦してます!!!。どなたか教えて頂けませんか? 問題: 周波数11[Hz]の連続時間正弦波信号をサンプリング周波数 8[Hz] でサンプリングした。 サンプリングによってこの離散時間信号と全く同じ波形となる連続時間正弦波信号の うち、最も低い正の周波数をもつ正弦波の周波数は何[Hz]か?

  • 正弦波、三角派、方形波について

    画像のような接続を行って測定したとき 正弦波、三角派、方形波において 1、(最大値)÷(実行値)が波形によって異なる理由 正弦波において 2、DCオフセット電圧((波高値)-(GNDレベルからの最高電圧))を変えてもACレンジで測定した電圧が変化しない理由 3、マルチメータやアナログテスタが周波数によってAC電圧の表示値が変わる理由 方形波において 4、対称性の比(ON,OFFの割合)を変化させるとAC、DCの電圧値が変わる理由 どれかひちつでもいいので教えてください!!!

  • PICを使って正弦波を出力

    PIC16F84Aを使って、正弦波を出力したいのですが、プログラミングまたは回路のほうはどのように組めばよいのでしょうか。 欲しい正弦波の周波数は0.3[Hz]、使用言語はアセンブラです。 よろしくお願いします。

  • 周波数と角周波数

    (1) 時間に関して周期的でかつ波形の伝播速度が一定の波形に対して, 周波数はその時間周期の逆数である. (2) 角周波数という言葉は正弦波(複素形の指数関数も含む)に対する用語である. この(1)と(2)は正しいでしょうか ? また, いわゆる電波の周波数とは(1)のことでしょうか ? フーリエ解析によれば, 周期 T の波形 f(t) は, 基本角周波数 2π/Tの整数倍の角周波数の正弦波の重ね合わせで表せますが, この場合にf(t)に対する周波数といえば, 1/T のことでしょうか ?

  • 【正弦定理の証明】

    正弦定理の証明ってできますか? 鈍角三角形の場合なんですが…