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正弦波の足し算

周波数Fの正弦波があったとき、 周波数Fの正弦波 + 周波数3*Fの正弦波は上下対称な波形になりますよね。 それなのに、 周波数Fの正弦波 + 周波数2*Fの正弦波は上下対称な波形にならないのは、どうしてでしょうか。 加法定理など使えば証明できそうのですが、 いまいちできません。 簡単な疑問だと思うのですが、よろしくお願いします。

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いまf=1/(2π)とします. (以下の話を,私にとって簡単にするため) こうすると信号は y1=sin t y2=sin 2t y3=sin 3t です. t 0 π/2 π 3π/2 2π y1 0 + + 0 - - 0 y2 0 + 0 - 0 + 0 - 0 t 0 π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π y1 0 + 0 - 0 y3 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 表にすると,このようになりイメージ的には分かってもらえるかと思います. 式としては sin(α+β)+sin(α-β)=2sinα×cosβ を用いると求まります. α+β=3t,α-β=tとすると α=2t,β=tなので y1+y3=2sin 2t× cos t・・・(1) となります. もう一方は α+β=2t,α-β=tとすると α=3t/2,β=t/2なので y1+y2=2sin 3t/2 × cos t/2・・・(2) となります. おっしゃるような上下対称というのは,この場合,時間をπ動かすと時間0からと符合が異なる.つまり信号をf(t)とすると f(t+π)=-f(t)・・・(3) という意味だとすると, (1)の場合 2sin 2(t+π)× cos (t+π)=-2sin 2t× cos t で上下対称となります. (2)の場合 2sin 3(t+π)/2 × cos (t+π)/2=-2cos 3t/2 ×sin t/2 となり,異なる波形になります. 以上でお分かりになられたでしょうか?

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質問者からのお礼

詳しく説明していただいてありがとうございます。よくわかりました。

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  • 回答No.3
  • foobar
  • ベストアンサー率44% (1423/3185)

#1さんの考え方「f(t)=-f(t+π)が成立するか否か」 をつかえば、加法定理を使う必要がなさそうな。 1. 奇数次高調波の場合 sin((2n+1)(t+π)+φ) =sin((2n+1)π+(2n+1)t+φ) =-sin((2n+1)t+φ) 2. 偶数時高調波の場合  sin((2n)(t+π)+φ) =sin(2nπ+2nt+φ) =sin(2nt+φ) が成立するから、奇数次(1,3,5,...)の成分だけからなる場合にのみ、正負対称になる、、と。 (厳密には、もうちょい言及する必要があるんでしょうけど、割愛)

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  • 回答No.2

証明するのが目的でしょうか? そうでなければグラフを書いてみれば一目瞭然ですが。

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