正弦波のべき乗は，どんな物理現象を指すのか？

質問

正弦波のべき乗は，どんな物理現象を指すのか？
こんにちは。
正弦波のべき乗の波形を人工的に作成し，パワースペクトルを求めると，基本周波数とその倍音成分のようなものが出てきました。
単なる数値実験に過ぎませんが，何かこのような振動を生み出すような物理現象が実際にありそうな気がします。
もし，このような波形を実際に観測したという方がいたら，教えてください。
参考までに，正弦波を５乗した波形とその振幅スペクトルを添付します。

回答No.2

inara1 · ベストアンサー

正弦波がべき乗されるのは、性能の良くないオーディオアンプの音が歪む現象として現われます。
理想的なアンプというのは、入力信号の電圧を正確に何倍かするもので、入力電圧を横軸に、出力電圧を縦軸にしたグラフを描くと、添付図(a)のように一直線になりますが、性能が良くないアンプでは (b) のように曲線になってしまいます。添付図のグラフを入出力特性といいますが、この線の真っ直ぐ具合（直線性）が良いのが良いアンプ、直線性が悪いのが悪いアンプです。入出力特性の直線性が悪いアンプに正弦波状に変化する電圧信号を加えると、出力信号に現れる歪みが多くなります。

入力信号の電圧値を Vin (V)、出力信号の電圧値を Vout (V) とすれば、理想的なアンプでは、Vout = a*Vin で表されます（a は定数）。この場合、出力信号が入力に完全に比例しているので入出力特性は直線です。しかし、理想的でない（現実の）アンプでは、これが
　　　Vout = a*Vin + a2*Vin^2 + a3*Vin^3 + a4*Vin^4+ ・・・
という曲線になります（ a2, a3, a4 ・・・は定数）。a2, a3, a4の値を変えればどのような曲線でも表すことができます（曲線を高次の多項式で表すことをテイラー展開といいます）。

このような入出力特性のアンプに、周波数 f (Hz ) の正弦波 Vin = Vm*sin( 2*π*f*t ) を加えると（t は秒）
　　　Vout = a*Vm*sin( 2*π*f*t ) + a2*{ Vm*sin( 2*π*f*t ) }^2 + a3*{ Vm*sin( 2*π*f*t ) }^3 + a4*{ Vm*sin( 2*π*f*t ) } + ・・・
となりますが、これは
　　　Vout = A0 + A1*sin( 2*π*f*t ) + A2*sin( 2*2*π*f*t + φ2 ) + A3*sin( 3*2*π*f*t ) + A4*sin( 4*2*π*f*t + φ4 ) + ・・・
と書き直すことができます。この電圧変化は元の周波数成分 sin( 2*π*f*t ) に、直流 A0 と
2次高調波 A2*sin( 2*2*π*f*t + φ2 ) 、3次高調波 A3*sin(3*2*π*f*t ) などが重畳した歪んだ波を表しています。

添付図の下の波形は、入出力特性が上図の (a) のように Vout = Vin + 0.1*Vin^2 ? 0.3*Vin^3 で表されるときの入力波形と出力波形を示したものです。出力波形 Vout は、DC成分と基本波、2次高調波、3次高調波が合わさったものになっています。この例では正弦波を5乗した波形は出てきませんが、入出力特性が5次式で表されるときは、正弦波を5乗した波形（5次高調波）が出てきます。

お礼

ご回答有り難うございました。
オペアンプがそのような特性を示すことがあるんですね。
ダイナミクスそのものが正弦波のベキ乗を生み出すような物理現象ってあるのでしょうか？
直感的には，バネの特性が変位に対して非線形だとそのような現象になるのかなと思ってましたが，
そのような類いのもので正弦波のベキが生成されるようなものはあるのでしょうか？

回答No.3

htms42

普通の音にはすべて高調波が混ざっています。
楽器の音でいえばその混ざり方の違いが音色です。
人の声の識別もそれで行っています。
高調波が混ざっているということと、べき乗が混ざっているということは同じことです。
これはすでに＃１の回答に書かれています。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

spring135

たとえばsin^2xは倍角公式により
sin^2x=(1-cos2x)/2
で、２倍角のcosで表されます。
パワースペクトルを求めると，基本周波数とその倍音成分が出て来るのが当然です。
また
sin^3x=(3sinx-sin3x)/4
で３倍角のsinと基本周波数のsinで表されます。
後は公式集を見て一般に正弦波のｎ乗はsin(nx)等々を用いて表されることを確認してください。

お礼

ご回答ありがとうございました。
ベキ乗で基本周波数とその倍音成分が出てくるのはよく分かりました。