A^B=B^AとなるすべてのＡとＢ

質問

Ａ＾Ｂ＝Ｂ＾Ａとなる全ての整数ＡとＢを求めるにはどのように考えれば良いでしょうか？
ただし、Ａ≠Ｂ．

回答No.4

mcq · ベストアンサー

＃２さんの考え方が一番簡単です。

f(x)=log(x)/x は、

f(0)=－∞
単調増加 f(x)<0 (x<1)
f(1)=0
単調増加 0<f(x)<1/e (1<x<e)
f(e)=1/e (極大)
単調減少 0<f(x)<1/e (e<x)
f(∞)=0

なので、A^B=B^Aすなわちf(A)=f(B)となるAとBは
一方が(1<x<e)に、もう一方が(e<x)にあります。
(1<x<e)の間にある整数は1と2だけなので、
f(1)=0より、
log(4)/4=log(2^2)/4=log(2)*2/4=log(2)/2
すなわち、2^4=4^2=16だけとなります。

お礼

ご回答ありがとうございます．
考え方の手順丁寧に教えていただき感謝いたします．
何かの本で２と４の組み合わせ以外にもあったような気がしていたのですが誤解だったのでしょうか・・・．

回答No.6

graduate_student

>何かの本で２と４の組み合わせ以外にもあったような>気がしていたのですが誤解だったのでしょうか・・・
あります．
ただし，その場合は整数ではありません．
この問題は頻出問題で，過去によく出題されています．

お礼

ありがとうございます．

回答No.5

pyon1956

>何かの本で２と４の組み合わせ以外にもあったような気がしていたのですが誤解だったのでしょうか・・・．

Ａ≠ＢでなくてもよいならA=B=2とA=B=1がありますね。

お礼

ありごとうございます．

回答No.3

proto

ちょっと考えてみました
　　B=c*A
と置くと
　　A^B=A^(c*A)=(A^c)^A=B^A
より
　　B=A^c
だから
　　y=x^c
　　y=cx
の解(x,y)の内、x,yがともに整数のものの組

もう一つ

　　A^B=B^A
両辺のAを底とする対数をとると
　　B=Alog_[A](B)
　　A=B/log_[A](B)

Bが整数より、B/log_[A](B)が整数になるためには
log_[A](B)が整数でなければならないので(必要条件)
　　B=A^n (ただしnは整数)
とおくと
　　A=(A^n)/n
　　A=n^(1/(n-1))

よってn^(1/(n-1))が整数となるnをとったとき
　　A=n^(1/(n-1))
　　B=n^(n/(n-1))

２つの方法とも、すべての(A,B)を洗い出すのか
自信ないですね
式の変形にも間違いがあるかも

お礼

ご回答ありがとうございます．
上の方は良く分かりません．
別解の方は、乗数部が整数になるのはｎ＝２のときだけですね．
従って、Ａ＝２、Ｂ＝４あるいはＡ＝４、Ｂ＝２のとき．
でよいですか？

回答No.2

graduate_student

両辺にlogをとってみればどうですか？

Blog(A)=Alog(B)
⇔log(A)/A=log(B)/Bとしてみてください．

お礼

ご回答ありがとうございます．
ここまでは思いついたのですが、ここからどのように区分分けして考えるかヒントをいただけませんか？

回答No.1

mitochan1975

両辺を素因数分解した結果が同じになる
ってことから派生して考えてはどうでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます．
すみません．文系なので素因数分解の意味が分かりません．