数学Aの場合の数 a＜b+1＜c+2＜d+3?

質問

はじめまして。
数学Aの確立の解法がわからずに困っています。

問題１

123456789の9つの数字から重複を許して４つ選び、４桁の整数を作る。
千、百、十、一の位をそれぞれa,b,c,dとする。

a≦b≦c≦dである整数

回答
1≦a≦b≦c≦d≦9⇔1≦a＜b+1＜c+2＜d+3≦12
よって12こから4つ選んでそれをa,b+1,c+2,d+3とすることと同値
よって12C4=495

問題２

男子４人と女子３人が横一列に並ぶ。
女子３名をA,B,Cさんとそれぞれする。
女子３名が隣り合わない並び方。

回答
8人の場所を左から12345678として3人の女子の番号をa.b.cとして
1≦a＜b＜c≦8(差は2以上)⇔1≦a＜b-1＜c-2≦6

よって6C3=20。これが女子が隣り合わない組み合わせ。
全体を考えて20*3!*5!=14400

という問題です。
それぞれ問題1では1ずつ足していって、問題2では1づつ引いていったということは分かるのですが、問題1では足して2ではひいたのが何故か分かりません。
1をやった後に２を解いたので、「なんでこっちは引いてるの?」って思ったのですが?

この≦から＜に変える作業はコンビネーションを使えるようにするためにやっていますよね。なら別に足しても引いても変わらないんじゃ…と思ったのですが、違いはなんでしょうか?

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また

0 1 2 4 4 5
のカードがある。これを並べて整数を作る時
230000以上の整数はいくつあるか?
で

回答は
整数をabcdefとして
a=4 5!=120
a=5　　5!÷2=60
ab=24 4!=24
ab=25 4!÷2=12

で２１６なのですが、これってa=4の場合って4は2枚あるので、どちらの4をaに持ってきたかで2通りあるので5!*2にしなくて良いのでしょうか?

長文になってしまいましたが、最後まで見ていただいてありがとうございます。
回答をよろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

簡単な例から考えてみましょう。
その例として、問題１で a＜b＜c＜d（等号がない場合）を考えます。
この場合、9つの数字から「重複なしに」（等号がないので）4つの数字を選びます。
あとは、その4つが a＜b＜c＜dと自動的に並べられるので、答えは 9Ｃ4とおりになります。

以下、少し長いですが、本題に入ります。
具体的に数字を書きならべたりしてみてください。

問題１
「重複あり」なので、考えやすいようにすることを考えます。
つまり、上記のようになることを考えます。
そのために、重複しないような選択に変えてしまいます。
「１」ずつ数字をずらせば、重複しなくなるので加えて重複をなくしています。
その代わり、選択できる数字が９＋３＝１２に増えているので、12Ｃ4とおりとなります。

問題２
まず、人が一列に並ぶことに「重複はありません」
ただし、「隣り合わない」ことを条件としているので
「１２４」といった選択はできません。「１３５」や「１５９」という選択しかできません。
そのことが回答内の「差が2以上」という意味です。
重複なしになっているのですが、差を2以上にして選択するのは面倒です。
差が1でもいいようにしておけば、選択は自由にできるようになります。（上の例と同じになる）
そこで、「差を詰めて」しまいます。
これが引いている理由です。

お礼

分かりやすい説明ありがとうございます。
もやもやしてた部分が解決できたので、スッキリしました。

ありがとうございました。

回答No.2

noname#102340

3番目の問題について。

a=4の場合
1　　4xxxxx
2　　4xxxxx
：
：
120　4xxxxx

xxxxxは01245の順列で上のどの二つの行の数字も異なるので2で割る必要はありません。

お礼

あ、そうですね!分かりました。

ありがとうございました。