数学A 場合の数 追加質問

質問

すいません。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5419311.html
の質問をしたものですが、少し納得できない所が出てきて、質問させていただきます。

問題１

123456789の9つの数字から重複を許して４つ選び、４桁の整数を作る。
千、百、十、一の位をそれぞれa,b,c,dとする。

a≦b≦c≦dである整数

回答
1≦a≦b≦c≦d≦9⇔1≦a＜b+1＜c+2＜d+3≦12
よって12こから4つ選んでそれをa,b+1,c+2,d+3とすることと同値
よって12C4=495

これって１づつ数字をずらせば確かに重複せずに、Cでかぞえあげられるのですが、重複しないのだったら極端な話1≦a＜b+100＜c+200＜d+300≦309これも同値変形ではないのですか?
でも立式した後確認すると1～309のなかから４つ選んで仮に309 308 307 306としてそれぞれ代入するとどう考えてもおかしくなるので、
a,b+1,c+2,d+3と1づつ変化させなければいけないことがわかるのですが、どうしてでしょうか?
あとから式をみて代入しておかしくなるから、やっぱり+1 +2 +3、だでは無くて、式を立てるときにどうして1づつずらしていこうと思えたのかが知りたいです。

よろしくおねがいします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5419311.htmlでも回答したものです。

一言でいえば、「各ケタで数字を重複して選べる分だけを +1している」ということになるのですが…

具体的に考えてみると、
1) a= 3としたとき
次に bとして選択できる数字は、3, 4, 5, 6, 7, 8, 9の 7とおりとなります。
重複を許さない場合よりも、「3」の分だけ選択肢が一つ増えてます。
b+1を考えると b+1= 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10となり、重複しなくなります。

2) b= 4としたとき
同様に、cとして選択できる数字は、4, 5, 6, 7, 8, 9の 6とおりとなります。
c+2を考えると、c+2= 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11となります。

3) c= 4としたとき
同様に、dとして選択できる数字は、4, 5, 6, 7, 8, 9の 6とおりとなります。
d+3= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12となります。

別の例として、a= 9としたときは、b= c= d= 9となります。
+1ずつしていると、a= 9, b+1= 10, c+2= 11, d+3= 12となります。
"9999"と選択しても、a, b+1, c+2, d+3は"9,10,11,12"と重複しない選択として考えることができるようになります。

選択肢が 1つずつ増えていく結果、
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12と 12個からの選択を考えればよいことになります。

回答No.2

noname#102340

＞1≦a＜b+100＜c+200＜d+300≦309これも同値変形ではないのですか?

同値変形ではありません。

○⇔△
上は、○が成り立つなら△も成り立つしその逆も言えるということです。

a≦b　ならば　a＜b+1
a＜b+1　ならば　a≦b
よって　a≦b ⇔ a＜b+1　(a,bは整数)

a≦b　ならば　a＜b+100
(a＜b+100　ならば　a≦b) ではない
よって　a≦bとa＜b+100 は同値ではない。