- ベストアンサー
円の方程式など
ume_pyonの回答
- ume_pyon
- ベストアンサー率58% (58/99)
やはり私もヒントだけ。 まず、円の方程式の考え方の鉄則。 その1 『円の方程式といったら、(x-a)^2+(y-b)^2=r^2あるいはx^2+y^2+lx+my+n=0を使って解け。 3点が与えられている場合は後者、それ以外はたいてい前者を用いる。』 その2 『共有点といってまず考えるのは、2つの式を連立せよ。その結果できあがる二次方程式に ついて、判別式Dを考えよ。それが、D>0なら共有点は2個、D=0なら1個、D<0なら0個。』 とまあ、鉄則だけならこのくらいです。これだけを頭に入れれば、大抵の問題はできます。 要は、どうやってこの鉄則に帰着させるかってことです。そればかりは問題慣れをするしか ありません。 1. 多分教科書には載っていると思うのですが。私がかつて使用していた学校指定の教科書には 載っていましたよ。 一般に、3点が与えられていて、それから円の方程式を求めるには、 x^2+y^2+lx+my+n=0 という一般式に代入すれば解けます。 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 でも解けますが、これでは計算が難しくなります。 2. (1)要は、円の方程式 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 をどう考えるかです。それが円の方程式を解く一番のポイントです! この場合、中心がy=5xの上にあるのですから、中心座標は(a,5a)となるはずですよね。 ってことは、b=5aですよね。あとは残る2点を代入して連立方程式を解けばよいのです。 (2)これは応用問題で、多少頭を使わないとできませんね。そこで、どこに目をつけるかを 考えます。まず、2点が与えられている時点で、これらを円の方程式に代入すれば、2つの式が できますよね。 次に長さ6をどう使うか。だったら、実際に図を書いてみましょう。図を書くのは、関数の問題の 大鉄則です!! そこで、実際に中心からx軸に垂線を下してみましょう。そうすると、斜辺がr、底辺が3、 高さがbの直角三角形が作図できますよね。「直角三角形」といえば?これにより、 合計3つの式ができます。あとはそれらを連立して解けばよろしいです。 なお、この連立方程式は多少骨が折れる計算ですので要注意。ヒントは、r^2を消去して 計算することです。そうすると、なんとか計算ができます。 ちなみに、これに関してはたしかもっとよい解き方があったような気がしますが、 忘れちゃいました。スイマセン。 3. 「交点(共有点)を求めよ」=「連立方程式を解け」 これだけです。そうすると、y=x-2√2より、おそらく x^2-2√2x+2=0 という二次方程式ができあがると思います。これを解の公式で解いてみて下さい。 4. 「共有点といえば、判別式Dを思い浮かべよ!!」これが鉄則。 判別式D=b^2-4ac>0なら、共有点は2個、D=0なら1個、D<0なら0個です。本問の場合、 連立方程式で解くと、 (1+m^2)x^2+8mx+12=0 という二次方程式が得られます。a=1+m^2,b=8m,c=12です。 (1)共有点が2個←→D>0 これを解けばよいのです。 ちなみに、二次不等式の解き方は覚えていますか?わからなければ補足して下さい。多分、 他の方が計算して下さると思いますが^^; (2)省略します。(1)ができれば(2)もできるでしょう。 ここで、「共有点とは何ぞや?」と思われましたら、以下をお読み下さい。 試しに、 ax^2+bx+c=0 という二次方程式の解について考えましょう。 x=(-b+√(b^2-4ac))/2,x=(-b-√(b^2-4ac))/2, という2つの解ができますよね。関数においては、この解が共有点、つまり交点ですよね。 じゃあ、このxの値について考えてみましょう。ポイントはルートの中身です。 もし、ルートの中身が0だったら、xの解って1つだけですよね。計算してみれば一目瞭然です。 また、ルートの中身がマイナスってことはありえないはずです。だって、それがルートの 定義でしたからね。(複素数を無視すれば)ってことは、この状態では解がないのです。 で、このルートの中身b^2-4acって何か?これがまさしく判別式Dに相当するのです。 だから、もし「共有点の座標を求めよ」という問題でなく、共有点の数を調べよ、といわれたら、 単にこのルートの中身、つまり判別式Dを考えればよいのです。 いってしまえば、判別式Dとは、「解の数を判別する式」なのです。
関連するQ&A
- 図形と方程式
次の問題の(2)の解き方がわからないので教えてください。 座標平面上に、円(x-2√3)^2+(y-4)^2=4(1)と、直線y=mx+2(2)がある。ただしmは定数とする。 (1)円(1)と直線(2)が接するとき、mの値と、そのときの接点の座標を求めよ。 (2)円(1)と直線(2)が異なる2点P,Qで交わるとき、mのとりうる値の範囲を求めよ。また、このとき線分PQの中点Mの座標をmを用いて表せ。 (1)は、(1)(2)からxの式にして、D=0で計算して、m=0のとき(2√3,2),m=√3のとき(√3,5)になりました。 (2)は、D>0で計算し0<m<√3まで出たんですが、その後どうすればよいかわかりません。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の問題です
図形と方程式の問題です 分からないので教えてください... 1 xy座標平面上の原点をO,座標が(6,0),(6,8)である点をそれぞれA,Bとする。このとき、△OABの外接円、内接円の方程式を求めよ。 2 円x^2+y^2=24と直線3x+4y=10の2交点をP,Qとするとき、線分PQの長さを求めよ。 3 点(4,2)を通り、円x^2+y^2=2に接する直線の方程式を求めよ。 4 2つの円x^2+y^2+4x-6y+9=0,x^2+y^2+2x-4y=0の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。 5 円x^2+y^2=9と円x^2+(y+a)^2=9が共有点を持つような定数aの値の範囲は(ア)≦a≦(イ)である。 多くて申し訳ありませんが、お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 円と直線
Oを原点とする座標平面上に、点A(4,3)を中心としてx軸に接する円Cと、直線l:y=mx(mは実数の定数)がある。Cとlは異なる2点P,Qで交わっている。ただし、(Pの座標)<(Pの座標)とする。 (1)mのとり得る値の範囲を求めよ。 (2)線分OP,OQの長さについて、OQ=3OP-2√2が成り立つとき、 (A)線分OPの長さを求めよ。 (B)mの値を求めよ。 わからないです。。 (2)の(A)は円の半径だからどんな時でもOQ=OPは成り立つと思うんですが。。 解答は(1):0<m<24/7 (2)の(A):2√2 (B):(4±√14)/3です。 教えてください。お願いします!!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 円と方程式の問題です。
円と方程式の問題ですが、明日の数学の時間の板書に当たってしまいましたので、どうか教えてください!!自分なりの回答はできていますので、答えだけでもいいです。 中心が点P、半径rの円は次の条件を満たしています。 (a)二つの円 C1 : x^2+y^2=1, C2 : x^2+y^2-6x+ 5=0 と外接する。 (b)Pと原点Oを結ぶ直線とx軸の正方向とのなす角が60°。 このときの、円Cの半径と中心P の座標を求めるという問題なのですが・・・。 ヒントでも何でもいいので、お願いします!!
- ベストアンサー
- 数学・算数