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円の方程式など
taropooの回答
夏休み半ばなのに頑張ってますね。応援します。 1. 点に記号をつけます。A(0,1),B(2,3),C(-1,2)とします。 まず中心を求めます。直線ABは例の2点を通る直線の方程式より 3(x - 1) = (2 - 1)(y - 0) 整理して y = 3x - 3 ですから、ABの中点(3/2, 3/2)を通り直線ABに垂直な直線は y - 3/2 = -(1/3)(x - 3/2) …(a) 一方、直線ACの方程式は 2(x - 1) = (-1 - 1)y 即ち y = -x + 1 なのでACの中点(0, 1)を通り直線ACに垂直な直線は y - 1 = x 即ち y = x + 1 …(b) 3点ABCを通る円の中心はABの垂直2等分線とACの垂直2等分線の交点なので、 (a),(b)を連立方程式として解いた解となります。(b)を(a)に代入して x + 1 - 3/2 = -(1/3)(x - 3/2) ∴x = 3/4 …(a') (a')を(b)に代入して y = 3/4 + 1 = 7/4 よって中心はM(3/4, 7/4)となります。 後は半径を求めるだけです。半径は AM = √{(1 - 3/4)^2 + (7/4)^2} = √(50/16) よって求める円の方程式は (x - 3/4)^2 + (y - 7/4)^2 = 50/16 …(答え) 2. (1) 原点と点(-1, 2)を通る直線の方程式は y = -2x …(a) よって原点と点(-1, 2)の中点を通り直線(a)に垂直な直線は y - 2 = (1/2)(x + 1) …(b) 円の中心は直線(b)と直線 y = -x + 5 …(c) の交点なので式(b),(c)を連立方程式として解くと、(c)を(b)に代入して -x + 5 - 2 = (1/2)(x + 1) ∴x = 5/3 …(b') (b')を(c)に代入して y = -5/3 + 5 = 10/3 よって中心はM(5/3, 10/3)。 半径は中心と原点O(0, 0)との距離なので OM = √{(-5/3)^2 + (10/3)^2} = √(125/9) よって求める円の方程式は (x - 5/3)^2 + (y - 10/3)^2 = 125/9 …(答え) (2) A(0,1),B(1,8)とします。 直線ABの方程式は 7x = y - 1, y = 7x + 1 これに垂直でABの中点(1/2, 9/2)を通る直線は y - 9/2 = -(1/7)(x - 1/2) 整理して y = -(1/7)x + 32/7 円の中心をM(x0, y0)とすると点Mはこの直線上の点なので y0 = -(1/7)x0 + 32/7 …(a) (但し第1象限なので、x0 ≧ 0, y ≧ 0) 点Mからx軸上に下ろした垂線の足を点Nとし、切り取られた線分をPQとすると 点N,Pの座標はN(x0, 0), P(x0 -3, 0)となります。 線分AMと線分PMはともに半径に等しいのでAM = PM(どこかで聞いたような…)、よって 3^2 + y0^2 = x0^2 + (y0 - 1)^2 整理して x0^2 - 2y0 - 8 = 0 …(b) 式(a),(b)を連立方程式として解く事により円の中心の座標が得られます。 (a)を(b)に代入して x0^2 - 2{-(1/7)x0 + 32/7} - 8 = 0 整理して 7x0^2 + 2x0 - 120 = 0 (x0 - 4)(7x0 + 30) = 0 x0 ≧ 0 より x0 = 4 …(b') (b')を(a)に代入して y0 = -(1/7)*4 + 32 /7 = 4 よって円の中心の座標はM(4, 4)と求まりました。半径は AM = √{(4 - 0)^2 + (4 - 1)^2} = 5 ゆえに求める円の方程式は (x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 25 …(答え) 3. 円 x^2 + y^2 = 4 …(a) と直線 x - y = 2√2 即ち y = x - 2√2 …(b) との関係は、式(a),(b)からx, yのどちらかを消去して得られる2次方程式の判別式Dによって決まります。 即ち、D>0のとき2点で交わり、D=0のとき接し、D<0のとき共有点を持ちません。 (b)を(a)に代入して x^2 + (x - 2√2)^2 - 4 = 0 2x^2 - 4√2x + 8 - 4 = 0 x^2 - 2√2 + 2 = 0 …(c) この判別式は D = (-2√2)^2 - 4*2 = 0 よって円(a)と直線(b)は接します。接点は(c)より (x - √2)^2 = 0 ∴x = √2 …(c') (c')を(b)に代入して y = √2 - 2√2 = -√2 よって接点は(√2, -√2) …(答え) 4. 円 x^2 + y^2 = 4 …(a) と直線 y = mx + 4 …(b) の関係はやはり判別式Dにより決まります。先にDを求めておきましょう。 (b)を(a)に代入して x^2 + (mx + 4)^2 - 4 = 0 (1 + m^2)x^2 + 8mx +12 = 0 より D = (8m)^2 - 4*12(1 + m^2) = 16m^2 - 48 = 16(m^2 - 3) = 16(m + √3)(m - √3) (1)異なる2点で交わる場合 D>0となれば良いので -√3 < m, m < √3 …(答え) (2)共有点が無い場合 D<0となれば良いので -√3 < m < √3 …(答え) 例によってミスがあったらゴメンナサイ。
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とってもくわしく教えてくださってありがとうございました。