５つの穴に入る確率を教えてください

質問

円盤状のものに１０個の穴が空いており、ぐるぐる回っています。カジノのルーレットをご想像下さい。
この装置に１２個のボールを流し込みます。１０個の穴のうち５個に印がついており、１２個のボールのうち５個以上が、この「印のついた穴」に入れば成功、というゲームがあります。
このとき、成功する確率は何パーセントでしょうか。

実は、ゲームセンターにこういうゲームがあるんです。経験的には２割くらい成功しているような気がします。昔勉強した順列や組合せを思い出していろいろやってみたのですが、場合分けが多すぎたり少なすぎたりしているようで、変な数字ばかり導かれてしまいます。

詳しい方、ぜひ御教授下さい。お願いいたします。
追伸、もし可能であれば、印のついた穴に入るボールが「０個」「１個」…「４個」の場合の確率も知りたいです。

回答No.8

fuzisan3776 · ベストアンサー

「１～５」の穴が印つきで、「６～１０」が印なしとします。
　まず入る穴が１～５（１～５のみに入り、かつ１～５の全てに入る）である入り方を求めます。
　１～２に入る入り方　２つの穴に１２個の玉を入れる入れ方は２＾１２＝４０９６通りだが、この中には、どちらか一方にしか入らないものが２通りある。よって４０９４通りとなる。
　１～３に入る入り方　３つの穴に１２個の玉を入れる入れ方は３＾１２通りだが、この中には３つの内１つか２つにしか入らないものがある。１つにしか入らないものは３通りで、２つにしか入らないものは、１と２に入るものと１と３に入るものと２と３に入るものがあるので、４０９４×３通りとなる。
　よって、１～３に入る入り方は、（３＾１２）－（４０９４×３）－３＝５１９１５６通りとなる。
　１～４に入る入り方　（４＾１２）－（５１９１５６×４）－（４０９４×６）－４＝１４６７６０２４通りとなる。
　この要領で計算すると、１～５に入る入り方は１６５５２８０００通りとなり、これが、１～５を含む５つの穴に入る入り方となります。
　１～５を含む６つの穴に入る入り方　まず１～６に入る入り方を求める。９５３０２９４４０通り
　１～６だけでなく１～５と７や、１～５と８などもあるので、１～５を固定し、残り１つは６～１０のどれにもなる、と考えると、これらは５通りとなる。
　これらは先ほどの９５３０２９４４０通りのそれぞれが、５通りに分けられるということなので、９５３０２９４４０×５＝４７６５１４７２００通りとなる。これが１～５を含む６つの穴に入る入り方である。
　このようにして１～５を含む７～１０個の穴に入る入り方も求めると、それらの和である、印のついた１～５の全てに入る入り方（もちろん６～１０にも入るものも含む）は１４７２７３９８４０００通りとなります。
　あらゆる入り方の総合計は１０＾１２、つまり１兆通りなので、確率は１４.７２７３９８４％となる。
　また、１～５のなかの４つに入る（６～１０にも入るものも含む）確率は、４１.０６８１８２０１２０ ％となります。結果的には、６番と７番の回答者さんとほぼおなじですね。
　自分では理解できているのですが、ちょっとわかりにくかったでしょうか！？

参考URL：

http://www.geocities.jp/iceland01234/1/b.htm

お礼

回答ありがとうございました！私のような素人にとって、分かりやすく丁寧なご説明でした。

皆さんにポイントを差し上げたいのですが、仕組み上そうもいかないみたいなので、
一番私にとって分かりやすかったNo.8さん
全パターンの確率を教えてくださったNo.6さん
に差し上げます。

皆さん本当にありがとうございました。以前から考えたことが解決して、すっきりしました。

回答No.7

cetus

印のついた穴に少なくとも一個のボールが落ちたならば、
その穴を「条件をクリアした穴」と呼ぶことにします。
ボールは一個ずつ投入するものとします。
n 回目(n≧1)に投入したボールが穴に落ちた直後、条件を
クリアしている穴の個数が k である確率を Q(n,k) とします。
0≦k≦5, k≦n です。
Q(n,k)について、次のような式が成り立ちます。

Q(n,k)＝

(1/2)^n,(k＝0 のとき)

Comb[5,k] * (1/10)^k * k!, (n＝k のとき)

((5+k)/10)*Q(n-1,k) + ((6-k)/10)*Q(n-1,k-1). (上記以外)

求める確率は Q(12,5) です。
上の式を用いて計算ソフトに計算させた結果、次のように
なりました。

Q(12,5) ＝ 575289/3906250 (＝ 0.147 … ) 　(答)

また、このゲームで印のついた穴に入るボールの数が例えば4個である確率は
Q(12,4) です。

Q(12,4)＝10267045503/25000000000 (＝0.410 …)

お礼

回答ありがとうございました。
私が感覚的に２割、と思っていたのは、まんざらでもなかったんですね。

回答No.6

ryn

どうもうまく説明できないですが…

時間的に早く穴に入った順に
ボールに番号をつけます．

いくつかボールが穴に入った段階で
k 個の異なる当たりの穴は入り終わってるとすると，
次のボールが新しいあたりの穴に入る確率は
　(5-k)/10
となります．

ここで，
　p 番目まではずれて，次のボールが初めてのあたり
　続く q 個がはずれてその次のボールが新しいあたり
　その後はずれもしくは今までのあたりの穴に入り続ける
といった感じで，最終的に2個の異なる当たりの穴に
ボールが入った場合を例に見てみます．

この場合の確率は
　(5/10)^p*(5/10)*(6/10)^q*(4/10)*(7/10)^(10-p-q)　　…(1)
となります．

ここで，p,q は
　0 ≦ p+q ≦ 10
を満たす0以上の整数なので，
この範囲で(1)式の和をとり
　(5/10)(4/10)Σ(5/10)^p*(6/10)^q*(7/10)^(10-p-q)
とすると，最終的に2個の異なる当たりの穴に
ボールが入ったときの確率が出てきます．

具体的に計算すると
　10*(7^12 - 2*6^12 + 5^12)/10^12
が求める確率になります．

同様にして
　0個：　1*5^12/10^12
　1個：　5*(6^12 - 5^12)/10^12
　2個：　10*(7^12 - 2*6^12 + 5^12)/10^12
　3個：　10*(8^12 - 3*7^12 + 3*6^12 - 5^12)/10^12
　4個：　5*(9^12 - 4*8^12 + 6*7^12 - 4*6^12 + 5^12)/10^12
　5個：　1*(10^12 - 5*9^12 + 10*8^12 - 10*7^12 + 5*6^12 - 5^12)/10^12
となります．

具体的数値はパーセントで
　0個：　0.0244
　1個：　0.9663
　2個：　9.7318
　3個：　33.4818
　4個：　41.0681
　5個：　14.7273
です．

約15％成功するといった感じですね．

お礼

回答ありがとうございます。
途中の説明が難しいのですが、何とか頑張って解読しています。
５個以外のときの確率も調べて頂き、ありがとうございました！

回答No.5

TTOS

12Ｐ5*(1/10)^5*(9/10)^7≒0.4546
約４５％と出たのですが。

お礼

あ、すみません。
12P7の計算を間違えてしまいました。
(No.4のお礼のところです)

45%だと、ちょっと大きな値ですね…。

回答No.4

TTOS

「確率」の字を誤変換していました。すみません。

穴に入るボールが０個の確率は10個の穴のうち印の無い5個の穴にすべてのボールが入る確率だから

(5/10)^12

5個の穴のs個の穴を選ぶ組み合わせは5Ｃs
12個のボールのうちt個のボールを選ぶ組み合わせは12Ｃt
しるしのついた穴に入る場合をu回

5Ｃs*12Ｃt*(1/2)^u*(1/2)^(12-u)

1個・・・5*12*(1/2)^12

ただし，2個以上印のついた穴に入るときは，同じ穴に入る可能性があるので場合わけが必要です。

10個の穴のうち,印のついた穴をＡ～Ｅとしますと，それぞれの穴に入る確率はすべて1/10。

5個のボールがＡ～Ｅの穴を埋める確率は(1/10)^5

Ａの穴に入る確率は(1/10)で，入らない確率は(9/10)

12個のボールのうち5個のボールがねらった穴に入る組み合わせは12Ｐ5

ゆえに　求める確立は　12Ｐ5*(1/10)^5*(9/10)^7

と考えましたが，2割くらいになりませんね。

考え方が間違っているのか，機械に細工がしてあるのか，専門家のご意見をお待ちします。

私も正答が知りたい。

お礼

回答ありがとうございます！
お答えいただいた回答だと、
12!/7!*(1/10)^5*(9/10)^7
とすると、約0.38%ですか。
1000回やって3～4回成功ということになってしまいますね。いや、もっと成功しているように感じます。

気がついたのは、狙った穴に5個入るケースのみ計算されている点です。6～12個が、印のついた穴に入っても、成功です。ただし、これらのパターンを考慮しても、あまり確率は上がりそうにないですが。

全てのボールが、印のついていない穴に入る確率は、御指摘どおり、1/4096=約0.025% ですね。
印のついている５つの穴に全て入れるより難しいです。
ちなみに私、これを１回だけ出したことがあります。（本筋とは全く関係ありませんが…。）

回答No.3

TTOS

条件がよくわかりません。

ひとつの穴にボールはいくつでも入るのでしょうか。
それでは成功の可能性が高すぎてゲームが成立しないでしょうね。

それとも印のついた5個の穴すべてを埋める必要があるのですか。

ひとつの穴にボールがひとつしか入らなければ,必ずすべての穴にボールが入ることになります。

いずれの穴にも入らないボールがありますか？もしあればその確立が必要です。

また，最初の1個が投入されたとき,すべての穴に等しい確立でボールが入ると考えていいのでしょうか。

補足

不正確な説明でした。申し訳ありません。
補足させて頂きます。

１つの穴に、ボールはいくつでも入りますが、印の付いた５つすべてに入る必要があります。
穴に入ったら玉は下に落ちて、その穴にはまた別の玉が入る可能性があるということです。

いずれの穴にも入らないボール、というのはありません。またすべての穴に等しい確率でボールが入ると考えて頂いて結構です。

どうかよろしくお願いいたします。

回答No.2

age_momo

補足お願いします。
１．ルーレットのような状態だと玉が一つしか入りませんが、パチンコのようにいくつでも入るのでしょうか？
２．印の入った穴はどれでもいいんでしょうか？それとも全部入って成功なんでしょうか？つまり印の入った一つの穴に５個玉が入っても成功なんでしょうか？
３．印の入っていない穴と入った穴は玉の入り易さは同じと考えていいでしょうか？入り口が狭くなってませんか？

補足

不正確な説明でした。申し訳ありません。補足させて頂きます。

１．に関して
→パチンコのようにいくつでも入ります。

２．に関して
→５個の穴にはすべて入る必要があります。

３．に関して
→玉の入りやすさは、１０箇所ともすべて同じです。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

redowl

考え方のヒントになりますが、
１０個の穴のうち　印の穴が５個ついている
ということは、
２個の穴のうち　印の穴が１個　と同等に考えてよいのでは？

お礼

アドバイスありがとうございます。
私も、穴の数とボールの数を減らして、いろいろ考えました。穴が４つ、ボールが４つ、くらいのあたりから、こんがらがってきました…