２次関数

質問

ある商品の定価を１５０円とすると１日あたり５００個販売できる。この商品は定価を１０円値上げするごとに１日あたり２０個ずつ販売量が減少する。売上高を最大にするには定価をいくらにすればいいか。

という問題なのですが、ある商品を10ｘ円値上げした時の売上高をｙ円として、
ｙ＝(150＋10ｘ)(500－20ｘ)という式を考えました。
売上高を最大にするということは↑の最大値が答えになりますよね？
何回解いても答えの２００円にならないのですが…。
式自体が間違っているのでしょうか？
それとも計算ミスなのでしょうか？

回答No.1

coldplay · ベストアンサー

(150＋10ｘ)(500－20ｘ)を展開すると

-200x^2+2000x+75000

になります。
これは上に凸なので微分して0になる点が最大となります。

-400x+2000=0

求めるxは５ですよね。定価の150円に10×5＝50を足して200円になるのでは？

お礼

回答ありがとうございます!!
あの・・・徴分ってなんですか？

回答No.4

coldplay

＃１です。

微分まだでしたか。勇み足でした、すみません。

では#２,３の方のように平方完成しましょう。

(150+10x)(500-20x)=-200(x-5)^2+80000

より、x＝５のとき売上高が最大になります。
後はさっきと同じです。

回答No.3

puni2

計算ミスではないでしょうか。
右辺を展開して平方完成すると，x=5のときにyは最大になるので，答えは200円で合っています。
（実は私も最初，x=-20で最大？という妙な答えになってしまい，よく見たら展開の時に符号を間違えていただけでした）
もう一度確かめてみて下さい。

回答No.2

postro

式はあってますね。計算がちがうのでしょう。
ｙ＝(150＋10ｘ)(500－20ｘ)
　＝-200x^2+2000x+75000
　＝-200（x^2-10x-375)
　＝-200（(x-5)^2-400)
となるから x=5 のとき y が最小になる。
そのときの定価は
150＋10ｘ=200
ですね