数２の問題（複素数と方程式）を教えてください。
数２の問題（複素数と方程式）を教えてください。
問題
aを実数の定数とする。３次方程式
x^3+(a-2)x^2+3x-a-2=0 ・・・・・(1)
について、次の質問に答えよ。
[1]方程式(1)はaの値に無関係な解をもつことを示せ。
また、その解を求めよ。
[2]方程式(1)が虚数解をもち、その実部が-1であるとき、aの値を求めよ。
また、虚数解をすべて求めよ。
[3]方程式(1)が2重解と他の１つの解をもつとき、aの値を求めよ。
という問題です。
[1]、[2]と[3]の途中までやってみました。
解答
[1]f(x)=x^3+(a-2)x^2+3x-a-2とおくと
f(1)=1+a-2+3-a-2=0
より、f(x)は(x-1)を因数にもつので、
f(x)=(x-1)〔x^2+(a-1)x+a+2〕
と因数分解できる。よって、f(x)=0のとき、
x=1,(-a+1±√(a^2-6a-7))/2
となり、題意は示された。
よって、求める解は、
x=1 (答)
[2][1]よりx=1,(-a+1±√(a^2-6a-7))/2であり、
虚数解をもつのは、a^2-6a-7<0のときであるから
a^2-6a-7<0 ⇔ (a+1)(a-7)<0 ∴-1<a<7 ・・・(2)
また、実部が-1より
(-a+1)/2=-1 ⇔ -a+1=-2 ∴a=3 ・・・(3)
(2)、(3)より、求めるaの値は
a=3 (答)
よって
x=(-3+1±√(-4*4))/2=-1±2i
したがって、求める虚数解は
x=-1+2i,-1-2i (答)
[3]方程式(1)が2重解をもつのは、次の（ア）、（イ）の場合である。
（ア）x^2+(a-1)x+a+2=0がx≠1の重解をもつ。
判別式をDとすると、D=0かつ(-a+1)/2≠1
D=a^2-6a-7=(a+1)(a-7)=0
∴a=-1,7 かつ a≠1
ゆえに
a=-1,7
（イ）x^2+(a-1)x+a+2=0の解のひとつが1で、他の解が1でない。
1^2+a-1+a+2=0 かつ ？？？
よって、
a=-1 かつ ？？？
以上から、求めるaの値は
？？？
となりました。
[1][2]のチェックと[3]の？？？部分を含めて
解説、解答をよろしくお願いします。
お礼
とても 参考になりました。有難うございました。