関数の極限

質問

63(3)の問題です。解答を見て何となく「こーなるんだろうなー」という感覚はありますが、十分に納得していません。かみくだいて教えてくださいませんか？

回答No.1

maskoto · ベストアンサー

6x＝2・(3x)とみなして
倍角公式により
1−cos6x＝2sin²3x
は問題ないかと思います
ところで√A²＝+Aは誤りです
何故ならば例えばA＝−1のとき
√A²＝A→√(−1)²＝−1→+1＝−1となり、左辺と右辺の符号が喰い違うから
このような正負の符号まで考慮に入れると
√A²＝│A│
Aが負なら
√A²＝│A│＝−A…①となります
これを踏まえて、(3)では
limx→−0
で、xをマイナスの側から0へ限りなく近づけ事を考えるので
sin3xの3xもマイナスの側から0に限りなく近づけて行くときを考える事になり
つまり、3xは
−0.1ラジアン→−0.01ラジアン→−0.001ラジアン→…
と言う具合にどこまでも0に近づける事を考える事になりますから
このような3xでは、sin3xは負なので
√sin²3x　の√のはずし方には先程の①を十分に意識する必要があり
分子＝√(2sin²3x)＝√2√sin²3x＝−√2sin3xです

このことから、
求めるべき極限
＝lim(x→−0)−√2sin3x/x
です
ところで
lim(θ→0)sinθ/θ＝1
と言う公式がありました
これは、θをプラス側から0にどこまでも近づけて行くと
sinθ/θは1に限りなく近づいて行く
θをマイナス側から0に近づける場合も
sinθ/θは1に限りなく近づいて行くと言う意味ですから
θをマイナス側から0に近づけると言う意味の式
lim(θ→−0)sinθ/θ＝1
と言う事になります
今、θ＝3xとおけばx＝θ/3なので
−√2sin3x/x
＝−√2sin3x÷x
＝−√2sinθ÷(θ/3)
＝−3√2sinθ/θ
です
また、x→−0なら、3xも負の側から0に近づく事になるので、θ→−0と言う事になり
lim(x→−0)−√2sin3x/x
＝lim(θ→−0)−3√2sinθ/θ
＝−3√2・1
＝−3√2
を得ます
なお、画像はθの置き換えはせずに処理しています

お礼

とても詳しくありがとうございます。

回答No.2

f272

どこが納得できないかを書いてもらわないと回答するにも困ります。十分にかみ砕いた説明です。