三角関数の極限

質問

リミット x→0 xsin(1/x)　を求める問題で、
解答では
「0≦｜sin(1/x)｜≦1だから　0≦｜xsin(1/x)｜≦｜x｜
x→0のとき　｜x｜→0であるから、リミット x→0 ｜xsin(1/x)｜＝０
∴リミット x→0 xsin(1/x)＝０」
としてあるのですが、絶対値を付ける意味がわかりません。
-1≦sin(1/x)≦1だから -x≦xsin(1/x)≦x　で
x→0のとき　-x→0 x→0　∴xsin(1/x)→0　ではいけないですか？

他の三角関数の極限を求める問題でも、はさみうちの原理を使った求め方をしている
ものはだいたい絶対値が付けられているのですが、どうしてなのかわかりません。
教えてください＞＜

回答No.1

info22

> -1≦sin(1/x)≦1だから -x≦xsin(1/x)≦x　…(1)　で
> x→0のとき　-x→0 x→0　∴xsin(1/x)→0　ではいけないですか？
いけませんね。
どこがいけないかというと、

x≠0（x=0ではsin(1/x)が未定義）ですから
x→0-　(負の方から0に近づける)　… (A)
または
x→0+　(負の方から0に近づける)　… (B)
といった極限のとり方をします。

(A)の場合　x<0で考えていることになります。
x<0に対して(1)式が成り立ちません。
(1)はx>0の場合は成り立つ式です((B)の場合は(1)式は成立）。

(1)の各項に絶対値をつけた
-|x|≦|xsin(1/x)|≦|x|　…(1')
ならx<0でもx>0でも成立します。
(1')は
>　0≦｜xsin(1/x)｜≦｜x｜…(1")
と等価です。
この式(1")はx<0,x>0の（A)と(B)の場合について成立します。
なので,
(A)と(B)をまとめて
|x|→0
と書いているだけです。

> -1≦sin(1/x)≦1だから -x≦xsin(1/x)≦x　で
この式はx≧0について成立しますが、
x＜0については成立しませんね。

お分かりでしょうか？

お礼

遅くなってすいません。
理解できました。
どうもありがとうございました＾＾