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三角関数の極限

リミット x→0 xsin(1/x)　を求める問題で、 解答では 「0≦｜sin(1/x)｜≦1だから　0≦｜xsin(1/x)｜≦｜x｜ x→0のとき　｜x｜→0であるから、リミット x→0 ｜xsin(1/x)｜＝０ ∴リミット x→0 xsin(1/x)＝０」 としてあるのですが、絶対値を付ける意味がわかりません。 -1≦sin(1/x)≦1だから -x≦xsin(1/x)≦x　で x→0のとき　-x→0 x→0　∴xsin(1/x)→0　ではいけないですか？ 他の三角関数の極限を求める問題でも、はさみうちの原理を使った求め方をしている ものはだいたい絶対値が付けられているのですが、どうしてなのかわかりません。 教えてください＞＜

みんなの回答

  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.1

> -1≦sin(1/x)≦1だから -x≦xsin(1/x)≦x　…(1)　で > x→0のとき　-x→0 x→0　∴xsin(1/x)→0　ではいけないですか？ いけませんね。 どこがいけないかというと、 x≠0（x=0ではsin(1/x)が未定義）ですから x→0-　(負の方から0に近づける)　… (A) または x→0+　(負の方から0に近づける)　… (B) といった極限のとり方をします。 (A)の場合　x<0で考えていることになります。 x<0に対して(1)式が成り立ちません。 (1)はx>0の場合は成り立つ式です((B)の場合は(1)式は成立）。 (1)の各項に絶対値をつけた -|x|≦|xsin(1/x)|≦|x|　…(1') ならx<0でもx>0でも成立します。 (1')は >　0≦｜xsin(1/x)｜≦｜x｜…(1") と等価です。 この式(1")はx<0,x>0の（A)と(B)の場合について成立します。 なので, (A)と(B)をまとめて |x|→0 と書いているだけです。 > -1≦sin(1/x)≦1だから -x≦xsin(1/x)≦x　で この式はx≧0について成立しますが、 x＜0については成立しませんね。 お分かりでしょうか？

albas55
質問者

お礼

遅くなってすいません。 理解できました。 どうもありがとうございました＾＾

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