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自然数の構成
tmppassengerの回答
- tmppassenger
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このままでは質問に答えるのが難しい。というのが、あなたが考えている疑問の内容をまずはっきりさせないといけない。 先ず、 > 自然数Nとしてf(n)=n+1とすれば とかいてあるが、 * 先ずここで「N」というのは「ペアノ公理をみたす集合」であって、「自然数」ではない。「自然数」というのは「ペアノ公理をみたす集合」の『元』であって（と書いてありますね）、「ペアノ公理をみたす集合」そのものではない。 で、どういう流れかというと、ペアノの公理を満たすとある集合Nがあったとする。この段階で加法は定義されてない。その後で ◯ 一般に空でない任意の集合XからXへの写像gがあったとき、Xの任意の元aに対し、NからXへの集合 h で、次のものを満たすものが一意に存在することが言える: * h(0) = a * n∈Nに対し、h(f(n)) = g(f(n)) つまり、写像の「帰納的定義」が出来ることが証明出来る。 ◯ そこで、任意のm∈Nに対し、A[m]: N→Nを、A[m](0) = m, A[m](f(n)) = f(A[m](n)) で定義出来る。よって、A: N×N→Nを、A(m,n) = A[m](n)と定義し、A(m,n) = m+nと略記すれば、これが我々のよく知る加法であることが証明出来る。 ※ 「これが我々のよく知る加法であることが証明出来る」、の意味は、これで定義した加法が、我々のよく知る可換律とか結合律とかを満たす事が証明出来る、ということ。全部ちまちま証明しないといけない。 加法が最初からあるのではなく、あくまで「ペアノの公理を満たすとある集合」の存在があって、その上で我々の知る加法が定義出来ることに注意。 ◯ で、上で定義された加法では、m+1 = A(m,1) = A[m](0) = A[m](f(0)) = f(A[m](0)) = f(m)、つまりm+1 = f(m)となっている。 なので、「自然数Nとしてf(n)=n+1とすれば」というのは、 * N自身は自然数ではない * f(n)=n+1とすれば、というのは、加法はPeanoの公理を満たすfがあって、それを用いて定義するもの、なので順序が逆 です。ここまではいいですか？
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