三次関数について。

質問

三次関数f(x)と三次関数g(x)が接するという条件の時、f(x)＝g(x)で判別式を使うことはできますか？

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

f(x) と g(x) の三次の係数が同じで、かつ
f(x) - g(x) は二次式になる（一次式以下にはならない）ときには使えます。
この二次式を h(x) とおくと、
「y = f(x) と y = g(x) のグラフが接する（同じ点を通り、かつ接線の傾きが一致する）」
という条件は
「h(x) = 0 の判別式の値が0に等しい」
と言い換えられます。

（理由）
y = f(x) と y = g(x) の接点のx座標をtとすると、接する条件は
「f(t) = g(t) かつ f’(t) = g’(t) が成立すること」
であり、これは
「h(t) = 0 かつ h’(t) = 0 が成立すること」
と同じです。このとき、二次方程式「h(t) = 0」は実数の重解をもつので、判別式で調べることができます。

fとgの三次の係数が違っていたり、
三次の係数と二次の係数が一致していたりすると（つまりhが二次式にならないと）二次方程式の判別式を用いる方法は使えません。
（三次方程式にも判別式の概念を取り入れることもできますが、ここでは二次方程式の判別式のみを扱うことにします）

お礼

ありがとうございます！！

回答No.3

f272

f(x) - g(x) = h(x)= ax^3 + bx^2 + cx + dとなったとき
判別式D =b^2 * c^2 - 4ac^3 - 4b^3* d - 27a^2 * d^2 +18abcd
が0になることがf(x)とg(x)が接するということです。
したがって判別式をつかうことは可能です。ただし，それで問題が簡単になるかどうかはわかりません。

お礼

ありがとうございます！

回答No.2

kiha181-tubasa

一般的には「できません」が回答です。
「ある共通の点での接線が同一直線になる」という条件で解くのが普通です。

お礼

ありがとうございます！