数学

質問

(2x - 3)(3x+1)≦0の解き方を教えてください

回答No.4

個別指導塾 ビオスタディ（@biostudy）

0以下の範囲を求めるのでグラフの下部分が該当します！
今回グラフはx二乗の符号がプラスなので下に凸となります。

回答No.3

nihonsumire

私が、高校の時に教わったのは、下記。
1.まず、2次関数なので、上に凸か、下に凸かをx2乗の係数の符号で判断。この場合は、x2乗の係数がプラスなので上に凸
2.次に(2x - 3)(3x+1)=0の解を求める.この場合は、x=-1/3,3/2
ここで図を描いとく。
3.2次関数の負の部分が題意を満たすので、-1/3≦x≦3/2

回答No.2

f272

まずy=(2x - 3)(3x+1)という放物線のグラフを頭の中で想像します。
下に凸で、x軸と交わるのがx=-1/3とx=3/2のところだということを確認してください。
そうすれば、(2x - 3)(3x+1)≦0を満たしているのは-1/3≦x≦3/2の部分だということが分るでしょう。

回答No.1

kiha181-tubasa

２つの回答をします。１つ目は「公式からこう答えれば良い」，２つ目は「なぜその公式が成り立つのか？（なるほど）」という回答です。
（１）公式を使って。
α＜βとしましょう。そのとき
(ｘ－α)(ｘ－β)＞０　⇔　ｘ＜α，ｘ＞β
(ｘ－α)(ｘ－β)＜０　⇔　α＜ｘ＜β
と答えを書けばよいのです。＜，＞が≧，≦に代わっても同じです。
たとえば例の(2x - 3)(3x+1)≦0を見てみましょう。
(2x - 3)(3x+1)≦0
2(x-3/2)3(x+1/3)≦0
6(x-3/2)3(x+1/3)≦0
(x-3/2)3(x-(-1/3))≦0
-1/3≦x≦3/2　……答

（２）なぜその公式が成り立つのか
α＜βとしましょう。
(ｘ－α)(ｘ－β)＞０　⇔　ｘ＜α，ｘ＞β
について
積が正なので(ｘ－α)と(ｘ－β)は同符号です。つまり
(ｘ－α)＞0かつ(ｘ－β)＞0　……①
または
(ｘ－α)＜0かつ(ｘ－β)＜0　……②
①よりｘ＞α，かつｘ＞β
α＜βだからｘ＞β　……③
②よりｘ＜α，かつｘ＜β
α＜βだからｘ＜α　……④
不等式の解は（「または」なので）③と④を合わせた範囲だから
ｘ＜α，ｘ＞β　……答

(ｘ－α)(ｘ－β)＜０　⇔　α＜ｘ＜β
について
積が負なので(ｘ－α)と(ｘ－β)は異符号です。そして同じｘからαとβを引いたのですが，α＜βなので
ｘ－α＞ｘ－β
となります。したがってｘ－αは正，ｘ－βは負となります。
ｘ－α＞０，かつｘ－β＜０
ｘ＞αかつｘ＜β
α＜ｘ＜β　……答

※　実際の問題では（１）に従って解けばよいのですが，公式の裏付けとして（２）を納得しておくと良いでしょう。

お礼

ありがとございます😭