数学

質問

途中式を教えてくださいm(_ _)m

f(x)=x^2sin1/x(x=0)、0(x=0)
(1)f(x)をx≠0で微分せよ
(2)x=0で微分せよ
(3)f'(x)がx=0で連続でないことを示せ。

よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44

lim[x→0] x*sin(1/x)
= lim[x→0] x
には、理由が要る。(成り立つけど)

| sin(1/x) | ≦ 1 から
| x sin(1/x) | ≦ |x| を用いて、
0 ≦ | x sin(1/x) | ≦ |x| で
ハサミウチにしてはどうか。

回答No.1

info22_

>f(x)=x^2sin1/x(x=0)、0(x=0)
「f(x)=(x^2)sin(1/x)(x≠0)、0(x=0)」の間違いでは？

そうであるとして

(1)
f'(x)(x≠0)
=2xsin(1/x)+(x^2)cos(1/x)(-1/x^2)
=2xsin(1/x)-cos(1/x)

(2)
f'(0)=lim[x→0] {f(x)-f(0)}/(x-0)
=lim[x→0] f(x)/x
=lim[x→0] x*sin(1/x)
=lim[x→0] x
=0

(3)
f'(x)がx=0で連続でないことを示せ。

lim[x→0] f'(x)=lim[x→+0] 2xsin(1/x)-cos(1/x)
=lim[x→0] -cos(1/x)
収束せず（値が不定）。
一方、f'(0)=0
従って、
f'(x)はx=0で連続でない。