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数学です√
皆無です。 是非教えてください。 nは3以上の整数とする。 (1)等式x^n=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1)+1が成り立つことを示せ。 (2)整式x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1を(x-1)(x-2)で割ったときの余りを求めよ。 (3)整数x^nを(x-1)^2(x-2)で割ったときの余りを求めよ。
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何から手をつけていいか分からないのでしたら、例えば以下のように解ける。最初の一歩は等比級数の考えを利用する。(帰納法でもできますが使いません) (1)等式x^n=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1)+1が成り立つことを示せ。 i)x≠1とき 左辺=1 右辺=1 よって x^n=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1)+1は成り立つ。 ii)x≠1とき、 x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1は等比xで第n-1項までの和だから x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1=(x^n-1)/(x-1) ・・・(4) と書ける。 これを移項して整理すれば (x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1)+1=x^n となる。QED (2)整式x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1を(x-1)(x-2)で割ったときの余りを求めよ。 P(x)=x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1 (n≧3) とおく (x-1)(x-2)で割ったときの商をQ(x)余りをax+bとおくと、剰余の定理によって P(1)=n=a+b P(2)=(2^n-1)/(2-1)=2a+b ∴ 2^n-1=2a+b 上の2つの連立方程式からa,bを求めて下さい。以下略 (3)整数x^nを(x-1)^2(x-2)で割ったときの余りを求めよ。 はゲームですね。 上の(4)で遊べます。の両辺を (x-1)(x-2) でわると。 {x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1}÷(x-1)(x-2)=(x^n-1)/{(x-1)^2(x-2)} ・・・(4)' {(x-1)^2(x-2)}[Q(x)+(ax+b)/{(x-1)(x-2)}]+1=x^n {(x-1)^2(x-2)}Q(x)+(ax+b)(x-1)+1=x^n (←この変形を鉛筆で追ってね) と変形できるから x^nを(x-1)^2(x-2)で割ったと右辺の{(x-1)^2(x-2)}Q(x)はx-1)^2(x-2)で割り切れて残りの整式の項は2次式だからこれが余り、すなわち x^nを(x-1)^2(x-2)で割ったときの余りは(ax+b)(x-1)+1である。この後の計算は先ほど持った鉛筆で解いて下さい。 だから 回答輩の皆さんも、答えにくいんでしょうね、
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- alice_44
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(1)は、右辺の括弧を展開して整理するだけ。 (2)が、要点かな。割算の余りを求める問題は (割られる式) = (割る式)(商) + (余り) の式を x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1 = (x-1)(x-2)Q(x)+ (ax+b) ←[*] の様に立てて、(割る式) の値を 0 にする代入をする。 基本例題だから、類題も研究して、理解しておくべき。 (3)は、(2)のオマケ。[*]の式の両辺を (x-1) 倍 すれば終わり。
- Tacosan
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何が「皆無」なの?
- mister_moonlight
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(1)と(2)は、どうでもいい問題だから省略。設問のtarget は (3)なんだが。 >(3)整数x^nを(x-1)^2(x-2)で割ったときの余りを求めよ。 商をA(X)、余りを ax^2+bx+c とする。 x^n=(x-1)^2*(x-2)*A(X)+(ax^2+bx+c) → x^n-(ax^2+bx+c)=(x-1)^2*(x-2)*A(X)。 f(x)≡x^n-(ax^2+bx+c)とすると、これは(x-1)^2 と (x-2)で割り切れる事を示している。 従って、f(2)=f(1)=f´(1)=0が条件。 つまり、1-a-b-c=2^n-4a-2b-c=1-2a-b=0 後は連立して解くだけ。それくらいは自分でできるだろう。
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