ネイピアと対数

質問

ネイピアが最初に考えた対数の底は、0.9999999だったそうですが、なぜこのような特殊な値にしたのでしょうか？

回答No.1

f272 · ベストアンサー

ネイピアが考えていたのは０度1分から89度59分までの角度θに対してx=sinθ*10^7（これは0<x<10^7を満たす）を求め、それに対応するy=log[0.9999999](x/10^7)を求めるというものでした。
対数の底が1よりわずかに小さいとき、xの値が増加するときyの値は減少していきますが、その減少の度合いは非常に緩やかになります。つまりyの値をかなり正確に表現できることになります。

y=log[0.9999999](x/10^7)
x/10^7=(1-10^(-7))^y
x/10^7=((1-10^(-7))^10^7)^(y/10^7)
ここで10^7を無限大とすれば（n→∞のとき(1-1/n)^n→1/e）
x/10^7=(1/e)^(y/10^7)
y/10^7=log[1/e](x/10^7)
となります。

お礼

1より僅かに小さくすることで誤差を少なくしようとしたのですね。
解答ありがとうございます😊