線形代数の質問です。

質問

逆行列を求める問題です。画像の最初の式の、2行目から3行目の2倍を引きます。しかし、なんで2行目をから3行目の2倍を引いたものを、3行目に置いてはだめなのか分かりません。先生に聞いてもそういう決まりだからとしか答えていませんでした。教えて下さい。

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

あ、「2行目をから3行目の2倍を引いたものを、3行目に置いては」ってそういう意味か。

それは「行に関する基本変形」にはない操作ですね。それは一般的には駄目です。で、「行に関する基本変形」というのがそれに対応する正則行列を掛けることに相当する、という事だということを思い出さないといけません。

つまり、「2行目から3行目の2倍を引く」というのは、具体的にはAX = E （今の場合Aは { {2,-1,0}, {2,-1,-1} {1,0,-1} } の3x3行列、Xは求めたい行列、Eは単位行列）の両辺の左側に、正則行列である、とある基本行列 P[1] を掛けることに相当する。『正則行列を掛けていく』という事がポイント。で、正則行列を左から掛けていって、P[N]....P[3] P[2] P[1] Aが単位行列になれば、P[N]....P[3] P[2] P[1] AX = P[N]....P[3] P[2] P[1] Eで、P[N]....P[3] P[2] P[1] A = Eなので、X = P[N]....P[3] P[2] P[1] Eとなって、求めたいXが求まる、という訳です。

で、繰り返しになりますが、「2行目から3行目の2倍を引く」というのはこれに対応する基本行列（これは正則行列）を左からかける事に相当する。「2行目をから3行目の2倍を引いたものを、3行目に置く」というのは、これに対応する正則行列があるかどうかは、調べてみると分りますが、調べてみないと分からない。少なくともこれに対応する基本行列はありません。

お礼

分かりやすいこれをベストアンサーにしました。本当にありがとうございます。

回答No.3

xeph

掃き出し法を用いた逆行列の計算ですね。
掃き出し法とは、「行基本変形を用いてある行列を単位行列にしたとき、同様の操作を単位行列に適用することで元の行列の逆行列を作ることができる」というテクニックです。
なので、元の行列を単位行列にできるように操作を繰り返していく必要があります。
質問者さんの言っている「2行目-3行目の2倍を引いたものを3行目に置くこと」が、「2行目ではなく、3行目に置くのはいけないのはなぜ？」ということであれば、
ダメではないのですが、単位行列を作る（そのためにまず、対角成分以外をゼロにする）目的から遠ざかってしまう可能性があります。
ですが、遠回りになるだけで、結果的に対角行列を作れるならばそのような操作でも問題ないと思いますよ。

回答No.1

tmppassenger

画像の最初の式で、2行目から3行目の2倍を引く、という方法も、なんというか「正統」なやり方ではないと言えばそうだけどね... まあそれでも解けますが。

結論を言えば、既に習ったと思いますが「行に関する基本変形」を繰り返して、左側をとにかく単位行列に出来れば間違いではありません。

で、「正統」な方法、つまり例えばコンピュータとかで機械的に解く為のアルゴリズム（要はこういう手順に機械的に従えば解ける、という方法）はどういうものか？というのは、一度「Gaussの消去法」を見てみるといいです。