数三微分 入試問題

質問

数学塾のプリントなのですが、わからなくて困っています。
どなたか丁寧な説明よろしくお願い致します。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

I
f(t)をtについて微分して増減を調べて…が標準的な解き方かと思いますが、少し違う方法をやってみます。
【解】
2cost + 3 = x とおく。
1 ≦ x ≦ 5 である。
このとき cost = (x - 3) / 2 なので、f(t) の分子は
-(sint)^2 + 3 = - { 1 - (cost)^2 } + 3 = (cost)^2 + 2
= { (x - 3) / 2 }^2 + 2 = (1/4) x^2 - (3/2) x + (17/4)
と変形できる。よって
f(t) = { (1/4) x^2 - (3/2) x + (17/4) } / x
= (1/4) x - (3/2) + (17/4x)
となる。この式を g(x) とおき、1 ≦ x ≦ 5 における g(x) の範囲を調べる。
g’(x) = (1/4) - (17/4x^2) = (x^2 - 17) / (4x^2)
増減表をかくと x = √17 のとき極小かつ最小とわかる。g(x) に代入することで最小値は (√17 - 3) / 2 とわかる。
また g(1) = 3 , g(5) = 3/5 なので最大値は3 とわかる。
以上より
最大値 3 、最小値 (√17 - 3) / 2 …答

II
f(x) = 5 (cosx)^2 + 5√2 sinx + √2 k
f’(x) = -10 cosx sinx + 5√2 cosx
= 5√2 cosx (-√2 sinx + 1)
0 ≦ x ≦ 2π の範囲で考えると
f’(x) = 0 となるのは cosx = 0 または sinx = 1/√2 のとき、すなわち x = π/4 , π/2 , 3π/4 , 3π/2 のとき。
増減表をかくと、この4個のxに対して f(x) は極値をとることがわかる。その極値は
f(π/4) = 5 + √2 k
f(π/2) = 5√2 + √2 k
f(3π/4) = 5 + √2 k
f(3π/2) = -5√2 + √2 k
この4個の極値のうちいずれかが0に等しい。
kは正の実数であるから、求めるkの値は
k = 5 のみである。…答