入試問題 積分 極限

質問

塾のテストで出た一問です。
よくわかりませんでした。
丁寧な説明をしてくださると、幸いです

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

f_n(x) = x^2∫(0→π/2) (cost)^2 dt + x∫(0→π/2) 2 sin(2nt)cost dt + ∫(0→π/2) (sin 2nt)^2 dt

ここで
∫(0→π/2) (cost)^2 dt
= ∫(0→π/2) { (1 + cos2t) / 2 } dt
= [ (t/2) + (1/4) sin4t ](0→π/2)
= π/4
∫(0→π/2) 2 sin(2nt)cost dx
= ∫(0→π/2) { sin (2nt+t) + sin (2nt-t) } dt
= [ - cos{(2n+1)t}/(2n+1) - cos{(2n-1)t}/(2n-1) ](0→π/2)
= (- 0 - 0) - { 1/(2n+1) + 1/(2n-1) }
= - 4n / (2n-1)(2n+1)
∫(0→π/2) (sin 2nt)^2 dt
= ∫(0→π/2) { (1 - cos 4nt)/2 } dt
= [ (t/2) - (1/8n) sin 4nt ](0→π/2)
= π/4

よって
f_n(x) = (π/4) x^2 - {4n/(2n-1)(2n+1)} x + π/4
であり、平方完成すると
f_n(x) = (π/4) { x - 8n/π(2n-1)(2n+1) }^2
- (π/4) { 8n/π(2n-1)(2n+1) }^2 + π/4
となるので、
a_n = - (π/4) { 8n/π(2n-1)(2n+1) }^2 + π/4
= -(16/π) { n / (2n-1)(2n+1) }^2 + π/4 …答

n→∞のとき
n / (2n-1)(2n+1) → 0
なので
a_n → π/4 …答