積分の問題がわからないです。

質問

下の積分の問題がわからないです。
教えてください。
テストがあって困ってます(>_<)

回答No.1

noname#232123

どこまで理解されているのかわかりませんが、(x^2+y^2) が出てきたらたいていは「極座標」への変換を試みてください。変換結果は以下のとおりです。各領域を確認し、ぜひご自身で計算してみてください。

1) I=∫[0 to 2pi]{∫[0 to 3]r^2*rdr}dφ
=∫[0 to 2pi]{∫[0 to 3]r^3dr}dφ,
{81pi/2}

2) I=∫[0 to pi]{∫[1 to 2]r^(-2)*rdr}dφ
=∫[0 to pi]{∫[1 to 2]r^(-1)dr}dφ,
{pi*ln(2)}

3) I=∫[-3pi/4 to pi/4]{∫[1 to 2]rdr/(1+r)}dφ,
(1 - ln(3/2))*pi

4) I=∫[0 to 2pi]{∫[0 to √2]rdr/√(4-r^2)}dφ,
(8/3)*(4- √2)*pi