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エルミート多項式の利用方法
エルミート多項式についてお尋ねします。この多項式はある特殊な方程式の解であるとか、積分による直交性とかの説明はネットに出ていますし、物理数学の本に載っているようです（載っていない本もありますが）。量子力学でに利用もあるようです。 私の分野の研究でも出てこないことはないようですが、ここがエルミート多項式の出番だという感じがしません。どういうときに使えるのでしょうか。連立常微分方程式の境界値問題という状況で出てくるようなのですが、それもケースバイケースだと思うのですが。フーリエ級数（スペクトルとか）のようななじみがあるものではないのでこれが登場する場面の一般論としてはどうなるでしょうか。使用例は例でしかないので一般化しにくいのですが。
- skmsk1941093
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- ddtddtddt
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エルミート多項式は特殊関数にも分類されますので、エルミート作用素に特化した（そこで一番便利な）ものであるとは思います。しかし量子力学のシュレーディンガー方程式も含むような系は、量子力学の中だけでなく、古典論のなかにもいろいろあります。 エルミート作用素がエネルギーに対応したものである事はご存じと思うのですが、エネルギーはふつう実数ですので、実数の世界では、それは実対称作用素という事になります。実対称作用素の固有値問題を解こうとすると、いわゆるスツルムーリュービル問題となり、結局エルミート多項式が基本解の関数系を与えます。スツルムーリュービル問題は、古典論での偏微分方程式を解く際の、基本定理になっています。 また実数の世界（古典論の範囲）でも、複素数に解を拡張して考えると便利な場合もけっこうありますので、実対称作用素をエルミート作用素にして扱う、という事態もあると思います。 一般的な状況でいうと、エルミート多項式は重みexp(ーx)で直交するので任意の状況には対応しにくく、三角関数系は重みが1なので汎用性がある、というところでしょうか？。 いずれにしろ関数系に完全性があれば、原理的にはどんな状況にも使えるはずですが、三角関数系で済ませられるところにエルミート多項式を持ち込んでも、もっと面倒になるだけだから誰もそうしない、という感じだと思います。 逆にエルミート問題では、三角関数系よりもエルミート多項式を使う方がより自然だから、そうしてるのだと思います。
- jamf0421
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調和振動子のSchroedinger方程式 d^2ψ/dx^2+(2m/ℏ^2)(E-(mω^2/2)x^2)ψ=0 の解がエルミートの多項式になりますが...
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