約数

質問

自然数aの全ての約数の積が
自然数bの全ての約数の積に
等しいとき、a=b ですか？

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

一般に自然数 nの約数の個数を d(n)とすれば、「自然数 nの約数の総積」の2乗は n^(d(n))である。

a^(d(a)) = b^(d(b))なら、両辺の素因数分解を考えると、a, bの一方が他方の倍数でないといけない事が分かるが、そうするとa=bでないと約数の総積が等しくならないことは明らか。

お礼

>両辺の素因数分解を考えると、a, bの一方が他方の倍数でないといけない

こんなこと言えるのか…？と思ったのですが、
以下のように考えればよいのでしょうか？

aとbが同じ素因数をもつのはa^(d(a))=b^(d(b))からわかる。
aとbを素因数分解したものを
a=p[1]^e[1]*p[2]^e[2]*…*p[k]^e[k]
b=p[1]^f[1]*p[2]^f[2]*…*p[k]^f[k]
とおくと、素因数分解の一意性から
e[1]d(a)=f[1]d(b)
e[2]d(a)=f[2]d(b)
e[3]d(a)=f[3]d(b)
……
e[k]d(a)=f[k]d(b)
仮にd(a)≦d(b)とするとすべてのi=1,2,…,kで
e[i]≧f[i]
が成り立つことになりaはbで割り切れる。

a=mbとすると
b^d(b)=a^d(a)=(mb)^d(mb)≧b^d(b)
したがってm=1

d(a)≧d(b)としても同様。

回答No.2

tmppassenger

> 仮にd(a)≦d(b)とするとすべてのi=1,2,…,kでe[i]≧f[i]
> が成り立つことになりaはbで割り切れる。
その通りです。

> a=mbとすると
> b^d(b)=a^d(a)=(mb)^d(mb)≧b^d(b)
> したがってm=1
これでいいです。一応言っておくと、a=mb、つまりaがbの倍数なら、bの約数は当然全てaの約数なので、明らかに aの約数の総積はbの約数の総積以上。かつ更にa≠b、つまりa>bならaはaの約数であってbの約数でないので、明らかにaの約数の総積はbの約数の総積より大きくなってしまいます。

お礼

>a>bならaはaの約数であってbの約数でないので、明らかにaの約数の総積はbの約数の総積より大きくなってしまいます。

おっしゃるとおりでした…。

ありがとうございました。