不等式について。

質問

以下の条件を満たす実数αを求めよ。
条件：
任意の自然数nに対して、ある整数kが存在して、
|α - k/n|≦1/(3n)
が成り立つ。 この問題をご教授いただけないでしょうか？すみません。

回答No.9

muturajcp · ベストアンサー

「
αを実数とする
任意の自然数nに対して、ある整数kが存在して、
」
と書いた場合のkの値について
α,nが変化した場合、それに応じてkの値も変化するのです
例えば
αが整数の時は
k=nα
となるのです.
だから
k=k(n,α)
と書くのです
---------------------------------------------
αを実数とする
任意の自然数nに対して、ある整数k(n,α)が存在して、
|α - k(n,α)/n|≦1/(3n)
が成り立つとする
[α+1/2]=(α+1/2以下の最大整数)
x=α-[α+1/2]
とすると
[α+1/2]≦α+1/2<[α+1/2]+1
-1/2≦α-[α+1/2]<1/2
-1/2≦x<1/2
α=x+[α+1/2]
だからこれを|α-k(n,α)/n|≦1/(3n)に代入すると
|x+[α+1/2]-k(n,α)/n|≦1/(3n)
|x-{k(n,α)+n[α+1/2]}/n|≦1/(3n)
↓k(n,x)=k(n,α)+n[α+1/2]とすると

|x-k(n,x)/n|≦1/(3n)
だから
n=1の時
|x-k(1,x)|≦1/3

x≦k(1,x)+1/3
↓-1/2≦xだから
-1/2≦k(1,x)+1/3
-5/6≦k(1,x)

k(1,x)-1/3≦x
↓x<1/2だから
k(1,x)-1/3<1/2
k(1,x)<5/6
-5/6≦k(1,x)<5/6
↓k(1,x)は整数だから
k(1,x)=0
↓これを|x-k(1,x)|≦1/3に代入すると
|x|≦1/3
-1/3≦x≦1/3

|x-k(n,x)/n|≦1/(3n)
だから
n=2の時
|x-k(2,x)/2|≦1/6
k(2,x)/2-1/6≦x≦k(2,x)/2+1/6
x≦k(2,x)/2+1/6
↓-1/3≦xだから
-1/3≦k(2,x)/2+1/6
-1≦k(2,x)

k(2,x)/2-1/6≦x
↓x≦1/3だから
k(2,x)/2-1/6≦1/3
k(2,x)≦1
↓-1≦k(2,x)
-1≦k(2,x)≦1
k(2,x)=-1,0,1

k(2,x)=-1の時
|x+1/2|≦1/6
x≦-1/3
↓-1/3≦xだから
x=-1/3

k(2,x)=1の時
|x-1/2|≦1/6
1/3≦x
↓x≦1/3だから
x=1/3

k(2,x)=0の時
|x|≦1/6
-1/6≦x≦1/6
ある自然数n≧2に対してk(n,x)=0と仮定すると
↓これを|x-k(n,x)/n|≦1/(3n)に代入すると
|x|≦1/(3n)
-1/(3n)≦x≦1/(3n)
|x-k(n+1,x)/(n+1)|≦1/{3(n+1)}

x-k(n+1,x)/(n+1)≦1/{3(n+1)}
x≦k(n+1,x)/(n+1)+1/{3(n+1)}
↓-1/(3n)≦xだから
-1/(3n)≦k(n+1,x)/(n+1)+1/{3(n+1)}
-1/(3n)-1/{3(n+1)}≦k(n+1,x)/(n+1)
-(n+1)/(3n)-1/3≦k(n+1,x)
(-2n-1)/(3n)≦k(n+1,x)
↓-1<(-2n-1)/(3n)だから
-1<k(n+1,x)

k(n+1,x)/(n+1)-x≦1/{3(n+1)}
k(n+1,x)/(n+1)-1/{3(n+1)}≦x
↓x≦1/(3n)だから
k(n+1,x)/(n+1)-1/{3(n+1)}≦1/(3n)
k(n+1,x)/(n+1)≦1/{3(n+1)}+1/(3n)
k(n+1,x)≦(n+1)/(3n)+1/3
k(n+1,x)≦(2n+1)/(3n)
↓(2n+1)/(3n)<1だから
-1<k(n+1,x)<1
↓k(n+1,x)は整数だから
k(n+1,x)=0
↓これを|x-k(n+1,x)/(n+1)|≦1/{3(n+1)}に代入すると
|x|≦1/{3(n+1)}
すべての自然数n≧3に対して
k(n,x)=0
|x|≦1/(3n)
だから
x=0
だから
x=-1/3.or.x=0.or.x=1/3
だから
3x=-1.or.3x=0.or.3x=1

↓3α=3x+3[α+1/2]だから

3α=3[α+1/2]-1
.or.
3α=3[α+1/2]
.or.
3α=3[α+1/2]+1

∴
3αは整数である

3αが整数ならば
α=m/3となる整数mがある

任意の自然数nに対して
k=[(mn+1)/3]=(mn+1を3で割った商)
とする
mn+1を3で割った余りをjとすると
mn+1=3k+j
0≦j≦2
-1≦j-1≦1
|j-1|≦1

|α-k/n|
=|m/3-k/n|
=|(mn-3k)/(3n)|
=|j-1|/(3n)
≦1/(3n)

回答No.8

muturajcp

αを実数とする
任意の自然数nに対して、ある整数k(n,α)が存在して、
|α - k(n,α)/n|≦1/(3n)
が成り立つとする
[α+1/2]=(α+1/2以下の最大整数)
x=α-[α+1/2]
とすると
[α+1/2]≦α+1/2<[α+1/2]+1
-1/2≦α-[α+1/2]<1/2
-1/2≦x<1/2
α=x+[α+1/2]
だからこれを|α-k(n,α)/n|≦1/(3n)に代入すると
|x+[α+1/2]-k(n,α)/n|≦1/(3n)
|x-{k(n,α)+n[α+1/2]}/n|≦1/(3n)
↓k(n,x)=k(n,α)+n[α+1/2]とすると

|x-k(n,x)/n|≦1/(3n)
だから
n=1の時
|x-k(1,x)|≦1/3

x≦k(1,x)+1/3
↓-1/2≦xだから
-1/2≦k(1,x)+1/3
-5/6≦k(1,x)

k(1,x)-1/3≦x
↓x<1/2だから
k(1,x)-1/3<1/2
k(1,x)<5/6
-5/6≦k(1,x)<5/6
↓k(1,x)は整数だから
k(1,x)=0
↓これを|x-k(1,x)|≦1/3に代入すると
|x|≦1/3
-1/3≦x≦1/3

|x-k(n,x)/n|≦1/(3n)
だから
n=2の時
|x-k(2,x)/2|≦1/6
k(2,x)/2-1/6≦x≦k(2,x)/2+1/6
x≦k(2,x)/2+1/6
↓-1/3≦xだから
-1/3≦k(2,x)/2+1/6
-1≦k(2,x)

k(2,x)/2-1/6≦x
↓x≦1/3だから
k(2,x)/2-1/6≦1/3
k(2,x)≦1
↓-1≦k(2,x)
-1≦k(2,x)≦1
k(2,x)=-1,0,1

k(2,x)=-1の時
|x+1/2|≦1/6
x≦-1/3
↓-1/3≦xだから
x=-1/3

k(2,x)=1の時
|x-1/2|≦1/6
1/3≦x
↓x≦1/3だから
x=1/3

k(2,x)=0の時
|x|≦1/6
-1/6≦x≦1/6
ある自然数n≧2に対してk(n,x)=0と仮定すると
↓これを|x-k(n,x)/n|≦1/(3n)に代入すると
|x|≦1/(3n)
-1/(3n)≦x≦1/(3n)
|x-k(n+1,x)/(n+1)|≦1/{3(n+1)}

x-k(n+1,x)/(n+1)≦1/{3(n+1)}
x≦k(n+1,x)/(n+1)+1/{3(n+1)}
↓-1/(3n)≦xだから
-1/(3n)≦k(n+1,x)/(n+1)+1/{3(n+1)}
-1/(3n)-1/{3(n+1)}≦k(n+1,x)/(n+1)
-(n+1)/(3n)-1/3≦k(n+1,x)
(-2n-1)/(3n)≦k(n+1,x)
↓-1<(-2n-1)/(3n)だから
-1<k(n+1,x)

k(n+1,x)/(n+1)-x≦1/{3(n+1)}
k(n+1,x)/(n+1)-1/{3(n+1)}≦x
↓x≦1/(3n)だから
k(n+1,x)/(n+1)-1/{3(n+1)}≦1/(3n)
k(n+1,x)/(n+1)≦1/{3(n+1)}+1/(3n)
k(n+1,x)≦(n+1)/(3n)+1/3
k(n+1,x)≦(2n+1)/(3n)
↓(2n+1)/(3n)<1だから
-1<k(n+1,x)<1
↓k(n+1,x)は整数だから
k(n+1,x)=0
↓これを|x-k(n+1,x)/(n+1)|≦1/{3(n+1)}に代入すると
|x|≦1/{3(n+1)}
すべての自然数n≧3に対して
k(n,x)=0
|x|≦1/(3n)
だから
x=0
だから
x=-1/3.or.x=0.or.x=1/3
だから
3x=-1.or.3x=0.or.3x=1

↓3α=3x+3[α+1/2]だから

3α=3[α+1/2]-1
.or.
3α=3[α+1/2]
.or.
3α=3[α+1/2]+1

∴
3αは整数である

3αが整数ならば
α=m/3となる整数mがある

任意の自然数nに対して
k=[(mn+1)/3]=(mn+1を3で割った商)
とする
mn+1を3で割った余りをjとすると
mn+1=3k+j
0≦j≦2
-1≦j-1≦1
|j-1|≦1

|α-k/n|
=|m/3-k/n|
=|(mn-3k)/(3n)|
=|j-1|/(3n)
≦1/(3n)

補足

k(n,α)とは、どういう意味でしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。

回答No.7

muturajcp

R=(全実数の集合)
Z=(全整数の集合)
N=(全自然数の集合)
α∈R
∀n∈N→∃k(n,α)∈Z {|α-k(n,α)/n|≦1/(3n)}
[α+1/2]=(α+1/2以下の最大整数)
x=α-[α+1/2]
とすると
[α+1/2]≦α+1/2<[α+1/2]+1
-1/2≦α-[α+1/2]<1/2
-1/2≦x<1/2
α=x+[α+1/2]
だからこれを|α-k(n,α)/n|≦1/(3n)に代入すると
|x+[α+1/2]-k(n,α)/n|≦1/(3n)
|x-{k(n,α)+n[α+1/2]}/n|≦1/(3n)
↓k(n,x)=k(n,α)+n[α+1/2]とすると

|x-k(n,x)/n|≦1/(3n)
だから
n=1の時
|x-k(1,x)|≦1/3

x≦k(1,x)+1/3
↓-1/2≦xだから
-1/2≦k(1,x)+1/3
-5/6≦k(1,x)

k(1,x)-1/3≦x
↓x<1/2だから
k(1,x)-1/3<1/2
k(1,x)<5/6
-5/6≦k(1,x)<5/6
↓k(1,x)は整数だから
k(1,x)=0
↓これを|x-k(1,x)|≦1/3に代入すると
|x|≦1/3
-1/3≦x≦1/3

|x-k(n,x)/n|≦1/(3n)
だから
n=2の時
|x-k(2,x)/2|≦1/6
k(2,x)/2-1/6≦x≦k(2,x)/2+1/6
x≦k(2,x)/2+1/6
↓-1/3≦xだから
-1/3≦k(2,x)/2+1/6
-1≦k(2,x)

k(2,x)/2-1/6≦x
↓x≦1/3だから
k(2,x)/2-1/6≦1/3
k(2,x)≦1
↓-1≦k(2,x)
-1≦k(2,x)≦1
k(2,x)=-1,0,1

k(2,x)=-1の時
|x+1/2|≦1/6
x≦-1/3
↓-1/3≦xだから
x=-1/3

k(2,x)=1の時
|x-1/2|≦1/6
1/3≦x
↓x≦1/3だから
x=1/3

k(2,x)=0の時
|x|≦1/6
-1/6≦x≦1/6
ある自然数n≧2に対してk(n,x)=0と仮定すると
↓これを|x-k(n,x)/n|≦1/(3n)に代入すると
|x|≦1/(3n)
-1/(3n)≦x≦1/(3n)
|x-k(n+1,x)/(n+1)|≦1/{3(n+1)}

x-k(n+1,x)/(n+1)≦1/{3(n+1)}
x≦k(n+1,x)/(n+1)+1/{3(n+1)}
↓-1/(3n)≦xだから
-1/(3n)≦k(n+1,x)/(n+1)+1/{3(n+1)}
-1/(3n)-1/{3(n+1)}≦k(n+1,x)/(n+1)
-(n+1)/(3n)-1/3≦k(n+1,x)
(-2n-1)/(3n)≦k(n+1,x)
↓-1<(-2n-1)/(3n)だから
-1<k(n+1,x)

k(n+1,x)/(n+1)-x≦1/{3(n+1)}
k(n+1,x)/(n+1)-1/{3(n+1)}≦x
↓x≦1/(3n)だから
k(n+1,x)/(n+1)-1/{3(n+1)}≦1/(3n)
k(n+1,x)/(n+1)≦1/{3(n+1)}+1/(3n)
k(n+1,x)≦(n+1)/(3n)+1/3
k(n+1,x)≦(2n+1)/(3n)
↓(2n+1)/(3n)<1だから
-1<k(n+1,x)<1
↓k(n+1,x)は整数だから
k(n+1,x)=0
↓これを|x-k(n+1,x)/(n+1)|≦1/{3(n+1)}に代入すると
|x|≦1/{3(n+1)}
すべての自然数n≧3に対して
k(n,x)=0
|x|≦1/(3n)
だから
x=0
だから
x=-1/3.or.x=0.or.x=1/3
だから
3x=-1.or.3x=0.or.3x=1

↓3α=3x+3[α+1/2]だから

3α=3[α+1/2]-1
.or.
3α=3[α+1/2]
.or.
3α=3[α+1/2]+1

∴
3αは整数である

3αが整数ならば
α=m/3となる整数mがある

任意の自然数nに対して
k=[(mn+1)/3]=(mn+1を3で割った商)
とする
mn+1を3で割った余りをjとすると
mn+1=3k+j
0≦j≦2
-1≦j-1≦1
|j-1|≦1

|α-k/n|
=|m/3-k/n|
=|(mn-3k)/(3n)|
=|j-1|/(3n)
≦1/(3n)

補足

∀n∈N→∃k(n,α)∈Z {|α-k(n,α)/n|≦1/(3n)}の所を詳しくご教授いただけないでしょうか？すみません。

回答No.6

muturajcp

R=(全実数の集合)
Z=(全整数の集合)
N=(全自然数の集合)
A={α∈R;∀n∈N→∃k(n,α)∈Z {|α-k(n,α)/n|≦1/(3n)} }
α∈A
[α+1/2]=(αの最近整数)
x=α-[α+1/2]
とすると
[α+1/2]≦α+1/2<[α+1/2]+1
-1/2≦α-[α+1/2]<1/2
-1/2≦x<1/2
α=x+[α+1/2]
だからこれを|α-k(n,α)/n|≦1/(3n)に代入すると
|x+[α+1/2]-k(n,α)/n|≦1/(3n)
|x-{k(n,α)+n[α+1/2]}/n|≦1/(3n)
↓k(n,x)=k(n,α)+n[α+1/2]とすると

|x-k(n,x)/n|≦1/(3n)
だから
n=1の時
|x-k(1,x)|≦1/3

x≦k(1,x)+1/3
↓-1/2≦xだから
-1/2≦k(1,x)+1/3
-5/6≦k(1,x)

k(1,x)-1/3≦x
↓x<1/2だから
k(1,x)-1/3<1/2
k(1,x)<5/6
-5/6≦k(1,x)<5/6
↓k(1,x)は整数だから
k(1,x)=0
↓これを|x-k(1,x)|≦1/3に代入すると
|x|≦1/3
-1/3≦x≦1/3

|x-k(n,x)/n|≦1/(3n)
だから
n=2の時
|x-k(2,x)/2|≦1/6
k(2,x)/2-1/6≦x≦k(2,x)/2+1/6
x≦k(2,x)/2+1/6
↓-1/3≦xだから
-1/3≦k(2,x)/2+1/6
-1≦k(2,x)

k(2,x)/2-1/6≦x
↓x≦1/3だから
k(2,x)/2-1/6≦1/3
k(2,x)≦1
↓-1≦k(2,x)
-1≦k(2,x)≦1
k(2,x)=-1,0,1

k(2,x)=-1の時
|x+1/2|≦1/6
x≦-1/3
↓-1/3≦xだから
x=-1/3

k(2,x)=1の時
|x-1/2|≦1/6
1/3≦x
↓x≦1/3だから
x=1/3

k(2,x)=0の時
|x|≦1/6
-1/6≦x≦1/6
ある自然数n≧2に対してk(n,x)=0と仮定すると
↓これを|x-k(n,x)/n|≦1/(3n)に代入すると
|x|≦1/(3n)
-1/(3n)≦x≦1/(3n)
|x-k(n+1,x)/(n+1)|≦1/{3(n+1)}

x-k(n+1,x)/(n+1)≦1/{3(n+1)}
x≦k(n+1,x)/(n+1)+1/{3(n+1)}
↓-1/(3n)≦xだから
-1/(3n)≦k(n+1,x)/(n+1)+1/{3(n+1)}
-1/(3n)-1/{3(n+1)}≦k(n+1,x)/(n+1)
-(n+1)/(3n)-1/3≦k(n+1,x)
(-2n-1)/(3n)≦k(n+1,x)
↓-1<(-2n-1)/(3n)だから
-1<k(n+1,x)

k(n+1,x)/(n+1)-x≦1/{3(n+1)}
k(n+1,x)/(n+1)-1/{3(n+1)}≦x
↓x≦1/(3n)だから
k(n+1,x)/(n+1)-1/{3(n+1)}≦1/(3n)
k(n+1,x)/(n+1)≦1/{3(n+1)}+1/(3n)
k(n+1,x)≦(n+1)/(3n)+1/3
k(n+1,x)≦(2n+1)/(3n)
↓(2n+1)/(3n)<1だから
-1<k(n+1,x)<1
↓k(n+1,x)は整数だから
k(n+1,x)=0
↓これを|x-k(n+1,x)/(n+1)|≦1/{3(n+1)}に代入すると
|x|≦1/{3(n+1)}
すべての自然数n≧3に対して
k(n,x)=0
|x|≦1/(3n)
だから
x=0
だから
x=-1/3.or.x=0.or.x=1/3
だから
3x=-1.or.3x=0.or.3x=1

↓3α=3x+3[α+1/2]だから

3α=3[α+1/2]-1
.or.
3α=3[α+1/2]
.or.
3α=3[α+1/2]+1

∴
3αは整数である

3αが整数ならば
α=m/3となる整数mがある

任意の自然数nに対して
k=[(mn+1)/3]=(mn+1を3で割った商)
とする
mn+1を3で割った余りをjとすると
mn+1=3k+j
0≦j≦2
-1≦j-1≦1
|j-1|≦1

|α-k/n|
=|m/3-k/n|
=|(mn-3k)/(3n)|
=|j-1|/(3n)
≦1/(3n)

補足

A={α∈R;∀n∈N→∃k(n,α)∈Z {|α-k(n,α)/n|≦1/(3n)} }と、[α+1/2]=(αの最近整数)は、どういう事でしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。

回答No.5

tmppassenger

ご自身でどこまで考えましたか？そもそも問題の意味は理解してますか？
既に書いていますが、例えば α = 2/7といった数が「条件」を満たしているか、分かりますか？

回答No.4

tmppassenger

2枚目/全2枚

打ち間違いがあるかも知れないけど、適当に補ってほしい。
ただ、自分で色々具体例をやってみないと、「なんでこういう解答を思いついたの？」というのは、多分理解出来ないと思います。解答を見て仮に理解できても、多分意味がない。

回答No.3

tmppassenger

1枚目/全2枚

回答No.2

tmppassenger

具体的な数で試してみましたか？
例えば、 α = 2/3 とか α = 2/7とかだと、その条件を満たすかどうか、分かりますか？

回答No.1

nitamago

殴り書ですみません。

補足

結局、実数αの答えは、何でしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみませんが。答えだけ書いていただけると助かります。ご教授いただけないでしょうか？大変お手数おかけします。