単数 同値 単元

質問

ρ = (1+√－3 )/2とおく.
Z[ρ] = {a+bρ | a,b ∈ Z} は環になる
(ρ が ρ2 －ρ+1 = 0 2を満たすことから，
Z [ρ] が C の部分環であることが容易に確かめられ，Z [ρ] は環になる.)
d:Z[ρ]→Z≥0 を，
d(a+bρ) = (a+bρ)(a+bρ) = a^2 +ab+b^2
と定めるとき，
a + bρ が，Z [ρ] の単数であること、
d(a + bρ) = 1 であることは同値である、というのは何故でしょうか。またこれを用いた、Z [ρ] の単元はどう求めたらいいのでしょうか。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

前も書きましたが、d(a+bρ) = (a+bρ)(a-bρ)ですね

x∈Z[ρ] が Z[ρ] の単元だとすると、xy = 1 なる y∈Z[ρ]があるが、この時 d(xy) = d(x)d(y) = d(1) = 1で、d(x), d(y)は非負整数であるから、d(x) = 1以外取り得ない

逆に d(x) = 1とする。yをxの複素共役とすれば y∈Z[ρ]、d(x) = d(y) = 1で、xy = d(x) = 1であるから、xはZ[ρ]の単数である

x = a + bρ (a,b∈Z)でd(x) = a^2 + ab + b^2 = 1 なるものを求めると、a^2 + ab + b^2 = (1/2)(a+b)^2 + (1/2) (a^2 + b^2) と変形すれば、|a|≧2もしくは|b|≧2であれば d(x)≧2となることが分かるから、|a| ≦ 1かつ|b|≦1の場合しか有り得ない。後は9つの場合しかないから、それぞれ調べれば Z[ρ]の単数は全て分かる（さらに言えば、xが単数なら-xも単数なので、a≧0の場合だけ調べればよい）

お礼

参考にさせて頂きます。ありがとうございます。