無理数が分子、有理数が分母の分数は無理数ですか

質問

分子、分母ともに無理数の場合は必ず有理数になりますか。

回答No.9

phosphole · ベストアンサー

以下のように考えてみてはどうだろうか。

「度」というのは、円周の長さを360分割した長さの割合で考えることができるとする。
円周の長さは、半径が1なら2πであるのだから、「１度」というのは長さで考えると2π/360に対応するものの「別称」「言い換え」である。

そもそも「π」というものだって、数値では表せない無理数であるのに、「π」という記号を使えば１文字になる。
同様に「度」というものだって、意味合いとしてはまともな数字にならないのに、「度」という単位を使って考えれば恰も普通の数値のように「見える」。

ここでいちいち「見える」とか「普通」と書いているのは、他のご回答にもあるように、あなたは「物理量」というものと「数字」を混同していると思われるので、そこの勘違いを強調している。

お礼

どうも私には根深い（考えは浅いのですが）誤解があるようです。改めて考えてみたいと思います。

回答No.8

f272

> 1度がπ/360だと無理数なのかなと思いました。

π/360は無理数ですよ。でも1度はπ/360ではなくて(π/180)ラジアンです。単位が付いているのを勝手になくしてはいけません。

お礼

ケアレスミスをいたしました。ラジアンは無理数を単位としているということでしょうか。

回答No.7

f272

#4です。

「2πラジアン=360度」は量の関係です。この式の左辺も右辺も有理数とか無理数とかではなくて，物理量です。
無理数とか有理数とかではないのですから，左辺と右辺が等しくても何も矛盾はありません。

お礼

πは無理数ですが360は有理数なので1度がπ/360だと無理数なのかなと思いました。

回答No.6

phosphole

ついでに。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/210553.html

そもそも度数法での「角度」というのが、実際には何なのか？という問題があると思われる。ここの議論にもあるとおり、１度というのは実際には作図ができない。したがって、普通の意味の数字と考えること自体がおかしいと思われる。

お礼

普通の数字ではないということを自分なりに考えてみたいと思います。

回答No.5

phosphole

他の方へのコメントになるが、以前にも似た質問があったので同じ人なのかもしれない。あなたの問題は、弧度法と度数法で角度の表現が全くことなるのを混同していることにある。
https://www.nli-research.co.jp/report/detail/id=57132?site=nli

度数法は単純に角度を同じ割合で割ったものになるが、弧度法というのは、円周の長さと半径の比で角度を表すものなので、定義が全く違う。したがってそれらの数値を同列に考えるのはナンセンス。

お礼

同じような質問をしてしまうのは依然した質問を忘れているからです。同時に理解が進んでいないということです。独学者の悲哀かもしれません。

回答No.4

f272

無理数Aと有理数Bがあるとき，C=A/Bを考えてCが有理数であると仮定する。A=BCとなるが，左辺は無理数で，右辺は有理数の積であるから有理数である。これは矛盾であるので最初の仮定は誤りで，Cが無理数である。
つまり「無理数が分子、有理数が分母の分数は無理数」は正しい。

ところが「分子、分母ともに無理数の場合」は有理数，無理数のどちらにもなりえます。
√2/√2=1=有理数
√3/√2=√6/2=無理数

お礼

左辺が無理数で右辺が有理数は矛盾するという背理法を適用すると2πラジアン=360度で実は度は無理数と考えるべきなのでしょうか。

回答No.3

asciiz

＞無理数が分子、有理数が分母の分数は無理数ですか

こちらはその通りです。

＞分子、分母ともに無理数の場合は必ず有理数になりますか。

必ず、はなりません。
無理数同士の演算は、大概は無理数です。

ですが例えば、自然対数の底、e は無理数で、それを2倍した 2e も無理数ですが、e/2e＝0.5 のように、結果が有理数になることもありえます。

お礼

無理数は有理数で割り切れないということのイメージがわかないのは無理数が理解できていないことと表裏一体のことですね。かえって無理数を無理数で割る場合の方がわかるような気がします。

回答No.2

phosphole

有理数になることもあれば無理数のこともある。

お礼

何とかわかりたいです。

回答No.1

fjnobu

無理数です。

お礼

勉強します。