分母の有理化の問題

質問

ａ＝√７＋√３／√７－√３のとき、ａ^2－１／ａ^2の値を答えよ。という問題がわかりません…。有理化をして分子と分母に√７＋√３をかけて２乗しても、５＋√２１／２と分数になってしまい、後半の１／ａ^2のａのところにあてはめられないです。

説明が下手で、上手く伝えられずに申し訳ありませんが、どなたかわかる方いましたら教えて下さい。

ちなみに、解答は５√２１とあるんですがそこまでの導き方がわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

9101011120 · ベストアンサー

与式＝a^2－1/a^2　を因数分解すると、
　　　　(a＋1／a)(a－1／a)　になります。
1/aを求めると、(√7－√3)／(√7＋√3)　＝(有理化)　(10－√21)／4
aを有理化すると　(10＋√21)／4

ゆえに与式＝(a＋1／a)(a－1／a)
　　　　　　　＝{(10＋√21)／4＋(10－√21)／4}{(10＋√21)／4－(10－√21)／4}
　　　　　　　＝(20／4)(4√21／4)
　　　　　　　＝5×√21　＝5√21

お礼

ありがとうございました！最初に因数分解をするなんて全く考えつきませんでした。。助かりましたm(__)m

回答No.2

noel_lapin

a=(√7+√3)/(√7-√3)=(5+√21)/2
a^2=(25+21+10√21)/4

(1/a)=(√7-√3)/(√7+√3)=(5-√21)/2
(1/a^2)=(1/a)^2=(25+21-10√21)/4

a^2-(1/a^2)=(25+21+10√21-25-21+10√21)/4
=5√21

お礼

解答ありがとうございますm(__)m(ａ＋ｂ)ときたら(ａ－ｂ)をかけるということしか頭になかったです…。参考になりました。ずっと悩んでいたので、スッキリです。ありがとうございました。