正の実数α、β、γに対し、3次元確率ベクトル(X,

質問

正の実数α、β、γに対し、3次元確率ベクトル(X,Y,Z)の同時確率密度関数f(x,y,z)は、D={(x,y,z)∈R^3|x>=0, y>=0, z>=0, x+y+z=1} を用いて、
f(x,y,z)=Γ(α+ β+ γ)/[Γ(α )Γ(β )Γ(γ)] x^(α-1)y^(β-1)z^(γ-1) ((x,y,z) ∈Dのとき),
0 ((x,y,z) not∈Dのとき)(つまり(x,y,z) がDに属さないとき)
として与えられている。ここで、Γ(s)は正の実数sに対し、Γ(s)=∮_0^∞ t^(s-1)e^(-t)dt により与えられるガンマ関数を表す。
α=3, β=4, γ=5のときの確率変数Xの期待値は1/4になるそうなのですが、それがなぜかわかりません。教えて下さいませんか。

回答No.2

EH1026TOYO · ベストアンサー

ANo.1・・!
ちと訂正・・<(_ _)>

∭[D]{xf(x,y,z)}dxdydz
={Γ(α+β+γ)/{Γ(α)(β)Γ(γ)}*(1/γ)*γ Γ(γ)Γ(α+1) Γ(β)/{(α+β+γ)Γ(α+β+γ)}
=Γ(α+β+γ)/{Γ(α)(β)Γ(γ)}*αΓ(α) Γ(β)Γ(γ)/{(α+β+γ)Γ(α+β+γ)}
=α/(α+β+γ)

お礼

解説下さいまして、ありがとうございました。

回答No.1

EH1026TOYO

"α=3, β=4, γ=5のときの確率変数Xの期待値は"
・・と言う言い回しのところがしっくりこないのだが、
単純に
∭[D]{xf(x,y,z)}dxdydzを計算してみると

∭[D]{xf(x,y,z)}dxdydz
={Γ(α+β+γ)/[Γ(α)(β)Γ(γ)]*(1/γ)}*γ Γ(γ)Γ(α+1) Γ(β)/{(α+β+γ)Γ(α+β+γ)}
=Γ(α+β+γ)/[Γ(α)(β)Γ(γ)]*γ Γ(γ)/{(α+β+γ)Γ(α+β+γ)}*αΓ(α) Γ(β)}
=α/(α+β+γ)
・・となりα=3, β=4, γ=5を代入すれば
=3/12
=1/4
にはなるみたい・・!