集合の問題

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回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

Qは有理数体でいいですね？以下、自然数全体の集合をNと書く。0はNの要素とする。

f: Q^2 → Q(π) : f(<x,y>) = x + yπを定めればこれは明らかに全射である。Q^2は可算であり、一点集合は外測度0であるから、 Q(π)の外測度も0である。

もう少し詳しく書くと、Q^2は可算集合であるから、全単射g: N→Q^2を取る。f○g: N→Q(π)は、NからQ(π)への全射である。任意の正実数eを取る。n∈Nに対し、I(n) = [ f○g(n) - e/(2^(n+2)), f○g(n) + e/(2^(n+2)) )で定めれば、g(n)∈I(n)である故、{I(n) | n∈N} は Q(π)の被覆である。
従ってQ(π)の外測度をm*(Q(π))と書けば、m*(Q(π))≦Σ[0≦n<∞] m(I(n)) = eである。eは任意の正実数であったから、m*(Q(π)) = 0である。