集合の問題

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tmppassenger · ベストアンサー

m番目の素数をp(m)とおく。p(0) = 2, p(1) = 3, p(2) = 5, p(3) = 7, p(4) = 11である。
実数 x に対し、 sgn(x) = 1 (x>0), 0 (x=0), -1 (x<0)と定める。
2進展開した時、ある番号以下が全て1となる数 x 全体をSとする。
自然数全体の集合をNとする。
2進展開で0.1111.... で表される実数は、10進表記の1に等しい。

x∈Sに対し、|x|の整数部分 A を2進展開し、 a[0]a[1]a[2]... a[M]とする。A=0ならばM=1, A>0ならば 2^(M-1)≦ A < 2^M を満たす。
同様に|x|の整数部分 B を2進展開（但しある番号以下が全て1となる表記を採用する）し、b[0] . b[1].....b[L]1111....... とする（b[0]の後の . は小数点）。b[0] = 0である。 又、b[L]=は、Bの2進展開の中で、1でない（即ち0 である）最後の桁とする。

この時、x∈Sに対し、
f(x) を (p(0)^(sgn(x) + 2)) * (p(1)^(M+1)) * (p(2)^(L+ 1)) * (p(3)^(a[0] + 1)) * (p(4)^(a[1] + 1)) * ..... * (p(M+3) ^ (a[M] + 1)) * (p(M+3 + 1 ) ^ (b[0] + 1)) * ..... * ((p(M+3 + L+1 ) ^ (b[L] + 1))
で定めれば、これはSからNへの単射を定める（素因数分解の一意性を思い出せ）。従って、g:N→Sを g(n) = f^(-1)(n) (n∈f(S)), 1 (n∉f(S))で定めれば、これは全射である。
任意の正実数eに対し、I(n) = [ g(n) - e/(2^(n+2)), g(n) + e/(2^(n+2)) )で I(n)を定めれば、{I(n) | n∈N} は Sの被覆である。Σ[0≦n<∞] m(I(n)) = eであり、eは任意の正実数であるから、Sの外測度は0である。