考えたけどとても難しかったのでわかる方お願いします

質問

考えたけどとても難しかったのでわかる方お願いします。

1:各辺の長さがそれぞれ、a、b、cの直方体が図のように配置されています。1三つの頂点PQRを結んでできる三角形PQRの面積を求めるにはどうすればいいか、解説しなさい。
2:同三角形PQRの法線ベクトルを示しなさい。(法線ベクトルの大きさは問いません。)
3:同三角形PQRの「単位」法線ベクトルnを示しなさい。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

１について
立体が直方体なので，三平方の定理より
PQ=√(b^2+c^2), PR=√(a^2+c^2), QR=√(a^2+b^2)
ここで∠QPR=θとおく。
余弦定理より
cosθ=(PQ^2+PR^2-QR^2)/(2PQ*PR)=中略=c^2/(√(b^2+c^2)√(a^2+c^2))

次に面積の公式を使うためにsinθを求める
(sinθ)^2=1-(cosθ)^2=1-c^4/(b^2+c^2)(a^2+c^2)
=(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)/(b^2+c^2)(a^2+c^2)
cosθ>0であるから
sinθ=√((a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)/√(b^2+c^2)√(a^2+c^2)
△PQR=(1/2)PO*PRsinθ
=(1/2)√(b^2+c^2)*√(a^2+c^2)*√((a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)/√(b^2+c^2)√(a^2+c^2)
=(1/2)√((a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)……答

2について
法線ベクトルのひとつをV=(x,y,1)とおく。（大きさは関係ないのでこうすると少し楽です）
ベクトルOPを単にOPと書き表すことにします。
OP=(a,0,0), OQ=(a,b,c), OR=(0,0,c)
であるから
PQ=OQ-OP=(0,b,c)
PR=OR-OP=(-a,0,c)
QR=OR-OQ=(-a,-b,0)

V⊥PQ, V⊥PR, V⊥QRより，V・PQ=V・PR=V・QR=0ゆえ
by+c=0
-ax+c=0
-ax-by=0
これら3つの等式を満たすx,yは
x=c/a, y=-c/b,
よってV=(c/a,-c/b,1)
大きさは問われていないのでお化粧直しのために，ab倍して
法線ベクトルW=abVは
W=(bc, -ca, ab)……答

3について
Wの大きさは√(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)
求める単位ベクトルは
W/|W|=(1/√(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2))(bc, -ca, ab)
=(bc/√(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2),-ca/√(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2),ab/√(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2))……答