ab³-ac³+a³b-bc³+a³c-b³cを因

質問

ab³-ac³+a³b-bc³+a³c-b³cを因数分解する時の手順を細かく教えてください。

回答No.1

staratras · ベストアンサー

まずa=cとすると、与式=ab^3-a^4+a^3b-a^3b+a^4-ab^3=0になるので、（a-c)で割り切れると考えられます。あとはbについて降べきの順に整理して、(a-c)をくくりだしてゆくだけです。

ab^3-ac^3+a^3b-bc^3+a^3c-b^3c
=(a-c)b^3+(a^3-c^3)b+a^3c-ac^3
=(a-c)b^3+(a-c)(a^2+ac+c^2)b+ac(a-c)(a+c)
=(a-c)(b^3+a^2b+abc+bc^2+a^2c+ac^2)

これ以上の因数分解は無理ですが、もし問題が ab³-ac³-a³b+bc³+a³c-b³cであれば、答えは (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)というきれいな形になります。ご質問にある式とは第3項と第4項のプラスマイナスが逆になっているだけですが、結果は大違いです。

回答No.2

178-tall

ANo.1 さんが提示された a の 3 次方程式、
　(c-b)a^3 + (b^3-c^3)a + bc(c^2-b^2) = 0　　…(A)
にて、「有理根定理」を利用し a の零点を一つ見つける。
　　　　　　　↓ 参考 URL / 有理根定理
定数項 bc(c^2-b^2) の一因数 b をとり、(A) の左辺を a-b で割りきれるか否か勘定してみる。
(参考 URL は「組立除法」しているが、慣れぬとミスしがちなので「除算」してみる)

　　　　　　　　　　 c-b　　 b(c-b)　　 c(b-2-c^2)
　　　　　　-------------------------------------
　1　　-b ) c-b　　　0　　　b^3-c^3　　 bc(c^2-b^2)
　　　　　　c-b　 -b(c-b)
　　　　　　-----------------------
　　　　　　　　　 b(c-b)　 b^3-c^3
　　　　　　　　　 b(c-b)　-b^2(c-b)
　　　　　　　　　 ------------------------------
　　　　　　　　　　　　　 c(b^2-c^2)　　bc(c^2-b^2)
　　　　　　　　　　　　　 c(b^2-c^2)　　bc(c^2-b^2)
　　　　　　　　　　　　　 -----------------------
　　　　　　　　　　　　　　　　0　　　　　　　0

… と整除でき、残りの 2 次方程式、
　(c-b)a^2 + b(c-b)a + c(b-2-c^2) = 0
を解けばチョン！

お礼

多項式の除算まで教えて頂きありがとうです。