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円と方眼紙

  • 質問No.9685406
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お礼率 78% (22/28)

算数の問題でしょうか?

1辺1cmの方眼紙に半径50.038cmの円を描いたとき
円にかかかるマス目は何マス有るか

という問題はどのように計算したらよいでしょうか?
よろしくおねがいします。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.9
  • ベストアンサー

ベストアンサー率 39% (957/2403)

No.3&5です。誤りと説明不足の点を補足・訂正します。

まず「円がその一部を覆う方眼の数」の計算で、方眼の数は円周上の点が縦横いずれかの罫線を横切る回数に等しいので、最後に2で割ったのは勘違いの誤りで、404個です。

次にある方眼のマス目が円の内部に完全に含まれる条件は、第1象限の4分円で考えると、そのマス目の右上隅の格子点が円の内部に含まれることです。

このため、例えば第1象限の4分円の最下段のマス目を円の中心に近い方から数えていくと、50個目が含まれるか否かがポイントで、このマス目の右上の格子点(50,1)が円周内にあるかどうかは、x^2+y^2=2501<50.038^2=2503.80144 より円周内であることがわかります。これは、x^2+y^2<50.038^2 についてy=1を代入してxの正の整数解を求めた場合の最大の値x=50に対応しています。またこのxの値は円内に全部が含まれる最下段の方眼のマス目の総数でもあります。

この操作をy=1からy=50まで繰り返して正の整数解をすべて求めれば、4分円内のマス目の個数が求められることになります。この合計は1915になるはずです。この4倍にNo.3で求めた「円がその一部を覆う方眼の数」の正しい値404個を加えた、1915×4+404=8064 が最終的な答えです。

次に円の半径が100.02651の場合の略解です。
まず円周が通る方眼のマス目の数は、(201+201)×2=804です。

円で完全に覆われているマス目の数は、x^2+y^2<100.02651^2の正の整数解の合計が7762だから、7762×4=31048 です。
実際の計算は下の表を表計算ソフト(LibreOffice Calc)で作成しました。最上段(y=100)のマス目の個数は2、最下段(y=1)のマス目の個数は100であることを示しています。

この両者を加えると、804+31048=31852 となります。
お礼コメント
Suzuchan21

お礼率 78% (22/28)

度重なる解答ありがとうございました
中学生であることでシグマが何なのか解らないのと表計算はわからないのでNo3とNo9が参考になりました
教わるまでまったく解らなかったですが解ってしまうと意外と簡単ですね
投稿日時:2019/12/04 13:41

その他の回答 (全11件)

  • 回答No.12

ベストアンサー率 39% (957/2403)

蛇足的考察です。この問題の答えから、半径50.038cmの円の面積は7660cm2より大きく、8064cm2より小さいことがわかります。円の面積を求める公式と考えあわせると円周率πの値の範囲がわかります。
7660<π・50.038^2<8064なので、3.0593…<π<3.2207… です。あの有名な東大の入試問題(円周率は3.05より大きいことを証明せよ)でこの解答なら何点もらえるでしょうかね。

ここで一歩進めて、円がその一部を覆っている方眼のマス目の「覆われている割合」を大ざっぱに見積もって「1/2」と仮定します。円の「面積」は7660+404×1/2=7862cm2となり、これからπを求めると、
7862/50.038^2=3.140025348… となります。こんな大まかな仮定でも円周率の値が小数第2位まで正しいのは興味深いですね。
お礼コメント
Suzuchan21

お礼率 78% (22/28)

ありがとうございました
表計算持ってないのでプログラミングで挑戦してみました
きちっと答えが導き出せました。
投稿日時:2019/12/04 13:47
  • 回答No.11

ベストアンサー率 43% (732/1674)

ANo.7 の EXCEL 勘定例は「コピー誤操作」で、判読不能な「無要の長物」でした。
蒙御免。
もとの「半径 50.038 cm の円」の例を以下にコピーしてみます。

x   y   h

0  50.04  51
1  50.03  51
2  50.00  50
3  49.95  50
4  49.88  50
5  49.79  50
6  49.68  50
7  49.55  50
8  49.39  50
9  49.22  50
10  49.03  50
11  48.81  49
12  48.58  49
13  48.32  49
14  48.04  49
15  47.74  48
16  47.41  48
17  47.06  48
18  46.69  47
19  46.29  47
20  45.87  46
21  45.42  46
22  44.94  45
23  44.44  45
24  43.91  44
25  43.35  44
26  42.75  43
27  42.13  43
28  41.47  42
29  40.78  41
30  40.05  41
31  39.28  40
32  38.47  39
33  37.61  38
34  36.71  37
35  35.76  36
36  34.75  35
37  33.69  34
38  32.55  33
39  31.35  32
40  30.06  31
41  28.68  29
42  27.20  28
43  25.59  26
44  23.83  24
45  21.88  22
46  19.69  20
47  17.17  18
48  14.14  15
49  10.14  11
50   1.95   2
        ----
    Σh   2016
   4*Σh   8064
  
お礼コメント
Suzuchan21

お礼率 78% (22/28)

度重なる回答ありがとうございました
投稿日時:2019/12/04 13:45
  • 回答No.10

ベストアンサー率 39% (957/2403)

表計算ソフトでx^2+y^2<100.02651^2 の正の整数解の個数を求めるには、例えばA列のA1からA100に1から100までの数を入れておいて、
B列で「=INT(SQRT(100.02651^2-A1*A1))」をA1からA100まで計算させてΣを取るのが簡単でしょう。連続データ作成と計算式のコピーですぐにできます。
お礼コメント
Suzuchan21

お礼率 78% (22/28)

ありがとうございました
投稿日時:2019/12/04 13:44
  • 回答No.8

ベストアンサー率 43% (732/1674)

EXCEL の勘定例に「二重加算」あり。
   ↓
100.02651 cm だと 31448 らしい。
  
お礼コメント
Suzuchan21

お礼率 78% (22/28)

ありがとうございました
投稿日時:2019/12/04 13:43
  • 回答No.7

ベストアンサー率 43% (732/1674)

>100.02651 cm だと 31852 だそうです

これを見ると、「円にかかかるマス目」とは円周内に (部分的にでも) 含まれるマス目数のことらしい。
EXCEL に勘定させた例…。
   ↓
x  y  マス目数

0100.027101
1100.022101
2100.007101
399.982100
499.946100
599.901100
699.846100
799.781100
899.706100
999.621100
1099.525100
1199.420100
1299.304100
1399.178100
1499.042100
1598.89599
1698.73999
1798.57199
1898.39499
1998.20599
2098.00799
2197.79798
2297.57798
2397.34698
2497.10598
2596.85297
2696.58897
2796.31497
2896.02897
2995.73096
3095.42296
3195.10296
3294.77095
3394.42695
3494.07195
3593.70394
3693.32494
3792.93293
3892.52793
3992.11093
4091.68092
4191.23892
4290.78291
4390.31291
4489.82990
4589.33390
4688.82289
4788.29789
4887.75788
4987.20388
5086.63387
5186.04887
5285.44886
5384.83185
5484.19885
5583.54884
5682.88183
5782.19783
5881.49482
5980.77381
6080.03381
6179.27480
6278.49479
6377.69478
6476.87277
6576.02877
6675.16276
6774.27275
6873.35774
6972.41873
7071.45172
7170.45871
7269.43670
7368.38369
7467.30068
7566.18467
7665.03366
7763.84664
7862.62063
7961.35462
8060.04461
8158.68859
8257.28358
8355.82456
8454.30755
8552.72953
8651.08152
8749.35950
8847.55348
8945.65446
9043.65044
9141.52542
9239.25940
9336.82837
9434.19535
9531.31032
9628.09529
9724.41925
9820.03321
9914.29315
1002.303 3
   -----
四分円計  7963
円計   31852
  
お礼コメント
Suzuchan21

お礼率 78% (22/28)

ありがとうございました
投稿日時:2019/12/04 13:43
  • 回答No.6

ベストアンサー率 39% (957/2403)

円の一部の図を追加します。
お礼コメント
Suzuchan21

お礼率 78% (22/28)

ありがとうございました
投稿日時:2019/12/04 13:42
  • 回答No.5

ベストアンサー率 39% (957/2403)

No.3で求めたのは「円周が通過する方眼の数」で、「円がその一部を覆う方眼の数」でもあります。問題が「円が一部、または全部を覆う方眼の数を求めよ」という意味であれば、これに「円が全部を覆う方眼の数」を加える必要があります。

4分円で考え、y=1からy=50までのyについて、√(50.038^2-y^2)>0の自然数解の個数を求めて足し上げます。

50個1通り、49個9通り、48個4通り、47個3通り、46,45,44,43,43,42,40個がそれぞれ2通り、41,39,38,37,36,35,34,33,32,30,28,27,25,23,21,19,17,14,10,1個がそれぞれ1通りあるので、

掛けて足し上げると、1915になるはずです。この4倍にNo.3で求めた「円がその一部を覆う方眼の数」202個を加えた、1915×4+220=7862 が最終的な答えです。
お礼コメント
Suzuchan21

お礼率 78% (22/28)

ありがとうございました
投稿日時:2019/12/04 13:42
  • 回答No.4

ベストアンサー率 43% (732/1674)

>100.02651 cm だと 31852 だそうです

「円にかかるマス目」とは、円周内に含まれるマス目のこと?
  
お礼コメント
Suzuchan21

お礼率 78% (22/28)

ありがとうございました
投稿日時:2019/12/04 13:42
  • 回答No.3

ベストアンサー率 39% (957/2403)

解法の一例です。円の中心はマス目の罫線の交点にあるものとします。

半径が50.038cmと「はした」がありますので、この円は方眼のマス目の罫線の交点(円の中心を原点とするx-y座標を考えるとき、x,y座標がともに整数の格子点)を通ることはあり得ません。x^2+y^2=50.038^2 はxとyがともに整数である解を持たないからです。

円周上を動く点Pを考えると、点Pは縦の罫線をy=-50からy=50までの101本、横の罫線をx=-50からx=50まで101本、合わせて202本、それぞれ2回ずつ(合計のべ404回)横切ります。ある罫線を横切って次の罫線を横切るまでのあいだ一つのマス目の中にいることになりますので、点Pが通過するマス目の数は404÷2=202です。

なおこの問題で、円の半径が50cmで「はした」がなかったとすれば、格子点を通過しますので計算法が異なります。
お礼コメント
Suzuchan21

お礼率 78% (22/28)

回答ありがとうございます

解答方法をみてもちょっと解らないのですが・・・・
100.02651cmだと31852が正解なのだそなのですが合ってますが?
投稿日時:2019/12/02 19:07
  • 回答No.2

ベストアンサー率 46% (404/867)

他カテゴリのカテゴリマスター
私には難しすぎて解けないので、実際にいくつか図を書いて、数を数えてみました。半径1cmの円なら1/4の弧で1つのマスにかかるので、1×4=4マスとなります。半径2cmの円なら1/4の弧で3マスにかかるので、3×4=12マスになり、半径3cmの円なら1/4の弧で5マスにかかるので、5×4=20マスになり、半径4cmの円なら1/4の弧で7マスにかかるので、7×4=28になり、半径5cmの円なら1/4の弧で9マスにかかるので、9×4=36マスになります。この調子で行くと、等差数列で半径50cmのものは、初項1等差2の式を当てはめることができ、1/4の弧のマスの数は
1+(50-1)×2=99
よって円はこれを4倍したものになるので
99×4=396マスになるのではないかと大雑把に予想します。答えになっていなくてすみません。(笑)
お礼コメント
Suzuchan21

お礼率 78% (22/28)

回答ありがとうございます。
難しいですよね^^;
答えを見てもまったくわかりません

ちにみに100.02651cmだと31852だそうです
marukajiriさんの解法で合ってますでしょうか?
投稿日時:2019/12/02 19:04
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