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正三角形と3個の円の問題

一辺の長さが√2 の正三角形の各頂点を中心に半径 1の円をそれぞれ描くとき,3 個の円の 共通部分の面積を求めよ。 という問題です。 以前には、円の半径が三角形の辺と同じ長さの問題をやったことがありますが、この問題は やってみたら全くできませんでした。 どなた分かる方、ご教授お願いします。

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添付図のように補助線を引き頂点や交点に記号を割り振ります。 面積を求める共通部分は緑と黄色の部分を合せた図形です。 この面積をSとして以下の手順で求めることができます。 1つの黄色の部分の面積S1は  扇形BGH(半径1,中心角30°)の面積S2から二等辺三角形BGH(頂角30°、それを挟む2辺が1)の面積S3を引けば求まります。  S2=BG*BG*π*(30/360)=π/12  S3=(1/2)BG*BHsin30°=1/4  S1=S2-S3=(π-3)/12 緑の正三角形GHIの一辺の長さaは 三角形IBGが∠IBG=∠IGB=15°、BG=1の二等辺三角形であることから  a=GI=BI=(1/2)BG/cos15°=1/√(4cos^2(15°))   =1/√(2(1+cos30°))=1/√(2(1+√3/2))=1/√(2+√3) 緑の正三角形GHIの面積S4は  S4=(1/2)a*a*sin60°=(1/2)(1/(2+√3))(√3/2)   =√3/(4(2+√3))=(√3)(2-√3)/(4(4-3))   =(2√3 -3)/4 求める共通部分の面積Sは  S=S4+3*S1=(2√3 -3)/4 + (π-3)/4   =(π+2√3 -6)/4 ← (答え) (補足) △ABGはAB=√2, BG=AG=1なので直角二等辺三角形で ∠AGB=90°となります。同様にして∠AIC=∠BHC=90°も得られます。△GHIの頂点G,H,Iと△ABCの頂点A,B,Cを結ぶ半径1の各辺は、互いに直交するので互の円の接線となります。△ABGは直角二等辺三角形なので∠ABG=∠BAG=45°となるので ∠CBG=∠ABC-∠ABG=60°-45°=15°=∠ABH ∠GBI=∠CBE-∠CBG=30°-15°=15° IG//BCより∠BGI=∠CBG=15° △IBGは2角が15°なので二等辺三角形。GI=BI,BG=1,∠BGI=∠GBI=15°なのでIGcos15°=BG/2=1/2。正三角形GHIの一辺の長さaは a=IG=1/(2cos15°) となります。cos15°は公式cos^2(θ)=(1+cos(2θ))/2を使えばcos30°から求まります。  

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質問者からのお礼

ご丁寧に図までつけて頂いて本当にありがとうございます。 本当にわかりやすいです。 ただ、一つだけ教えていただけますか。 扇形BGHの中心角は30°とありますが、この中心角は どうやって求めたのですか?

その他の回答 (3)

  • 回答No.4
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No.2です。 ANo.2の補足の質問の回答 >扇形BGHの中心角は30°とありますが、この中心角は どうやって求めたのですか? ANo.2の添付図をみてお読み下さい。 中心角∠GBH=∠GBI+∠HBI ...(※) ANo.2の回答の中の(補足)で △IBGは∠BGI=∠GBI=15°であることを導出ずみです。 対称性から△IBG≡△IBHなので∠HBI=∠GBI=15° 従って(※)の中心角∠GBH=15°+15°=30° と求まります。 お分かり?

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質問者からのお礼

すみません、補足に書いてあるのに気づきませんでした。 失礼しました。

  • 回答No.3

少し違うやり方でやってみます。 題意の様に簡略図を書き、補助線と記号を書き込むと 添付した図のようになります。 求める図形(おむすび形OPQ)の面積を S とすると -(3-1)S = (△ABCの面積)-6{(赤斜線部OAEの面積)+(青斜線OFDの面積)} …(1) で求まります。 ここで、左辺が-(3-1)S=-2S なのは、上式の右辺で計算すると 求める図形(おむすび形OPQ)の面積を S を2つ分余計に引いてしまうからです。 図のように補助線OCを引くとOC = 1、DC = (√2)/2 = 1/√2 よりOD = 1/√2 である ことがわかり、△ODCは直角二等辺三角形であるので、∠OCD = 45°、∠OCA = 15°が わかる。 また、AD=(√2)sin60°=(√6)/2 = √(3/2)、 AO = AD - OD = √(3/2) - 1/√2 =((√3)-1)/√2 ここで、(△ABCの面積) = (1/2)・(√2)・√(3/2)=(√3)/2 (赤斜線部OAEの面積) = (△OCAの面積)-(扇型CEOの面積) = (1/2)・(AO)・(AC・sin30°)- (CO)^2・π・(∠OCA/360°) = (1/2)・{((√3)-1)/√2}・{(√2)/2}-1^2・π・(15°/360°) = [6{(√3)-1}-π]/24 (青斜線OFDの面積) = (扇型COFの面積) - (△ODCの面積) = (CO)^2・π・(∠OCD/360°) - (1/2)・(OD)・(DC) = 1^2・π・(45°/360°) - (1/2)・(1/√2)^2 = (π - 2)/8 よって、(1)式は以下のようになる。 -2S = (√3)/2 - 6【 [6{(√3)-1}-π]/24 + (π - 2)/8 】 ∴S = {π+(2√3)-6}/4

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質問者からのお礼

ありがとうございます。

  • 回答No.1

 共通部分に出来るオムスビ形の頂点P,Q,Rがどこになるか、ってのがポイントですよね。それさえ分かれば、(頂点PQRを結んでできる正三角形)+3×(正三角形PQRからはみだす出っ張り)が計算できそうです。(正三角形からはみだす出っ張り)は、もちろん、2つの頂点を結ぶ半径1の扇形の面積から、扇のカナメと2つの頂点を結んで出来る二等辺三角形の面積を差し引いたもの。  さて、一辺√2の正三角形について、ひとつの辺の垂直二等分線を描いて、それと円との交点を考えると、なんとかなりそうですよ?

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 確かに仰るとおりです。 が、やってみたのですけれど、具体的にはどう計算すればいいのか わかりません。。。 扇形の弧の長さだったり、扇のカナメと2つの頂点を結んで出来る二等辺三角形の角度だったり いろいろ求め方がわかりません。

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