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定積分
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回答No.1
I[0]=∫[0, π] cosx dx=[sinx][0,π]=0, J[0]=∫[0, π] sinx dx=[-cosx][0,π]=2, I[n]=∫[0, π] (x^n)cosx dx=[(x^n) sinx] [0,π] -∫[0, π] nx^(n-1) sinx dx = -n J[n-1] (n≧1), J[n]=∫[0, π] (x^n) sinx dx=[(x^n) (-cosx)] [0,π] -∫[0, π] nx^(n-1) (-cosx) dx = (π^n) + n I[n-1] (n≧1). I[n]= -n J[n-1]= -n {π^(n-1)+(n-1) I[n-2]}= -nπ^(n-1)-n(n-1) I[n-2] (n≧2), I[2]= -2π-2 I[0]= -2π, I[4]= -4π^3 -12 I[2]= 24π-4π^3, ∫[-π, π] (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)cosx dx =∫[-π, π] (1+x^2+x^4)cosx dx =2∫[0, π] (1+x^2+x^4)cosx dx= 2{ I[0]+I[2]+I[4] } =2( 0 -2π +24π-4π^3 ) = 4π(11-2π^2 ).
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