定積分

質問

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回答No.1

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I[0]=∫[0, π] cosx dx=[sinx][0,π]=0,
J[0]=∫[0, π] sinx dx=[-cosx][0,π]=2,

I[n]=∫[0, π] (x^n)cosx dx=[(x^n) sinx] [0,π] -∫[0, π] nx^(n-1) sinx dx
= -n J[n-1] (n≧1),
J[n]=∫[0, π] (x^n) sinx dx=[(x^n) (-cosx)] [0,π] -∫[0, π] nx^(n-1) (-cosx) dx
= (π^n) + n I[n-1] (n≧1).

I[n]= -n J[n-1]= -n {π^(n-1)+(n-1) I[n-2]}= -nπ^(n-1)-n(n-1) I[n-2] (n≧2),
I[2]= -2π-2 I[0]= -2π,
I[4]= -4π^3 -12 I[2]= 24π-4π^3,

∫[-π, π] (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)cosx dx
=∫[-π, π] (1+x^2+x^4)cosx dx
=2∫[0, π] (1+x^2+x^4)cosx dx= 2{ I[0]+I[2]+I[4] }
=2( 0 -2π +24π-4π^3 )
= 4π(11-2π^2 ).

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