条件付き確率の式について

質問

ベイズ統計でおなじみの条件付き確率P(A|B)ですが、P(A,B,C|X)=P(A|X)P(B|X)P(C|X)という展開は無条件に成立するでしょうか。確率が積になるのは独立というイメージがあるのですが。

回答No.1

muturajcp

独立という条件が無いので成立しません
P(A,B,C|X)=P((A∩B∩C)|X)
ならば
P((A∩B∩C)|X)=P(A|B∩C∩X)P(B|C∩X)P(C|X)
となります
P((A∩B∩C)|X)
=P(A∩B∩C∩X)/P(X)
↓P(A∩B∩C∩X)=P(A|B∩C∩X)P(B∩C∩X)だから
=P(A|B∩C∩X)P(B∩C∩X)/P(X)
↓P(B∩C∩X)=P(B|C∩X)P(C∩X)だから
=P(A|B∩C∩X)P(B|C∩X)P(C∩X)/P(X)
↓P(C|X)=P(C∩X)/P(X)だから
=P(A|B∩C∩X)P(B|C∩X)P(C|X)
∴
P((A∩B∩C)|X)=P(A|B∩C∩X)P(B|C∩X)P(C|X)
↓B,Cを入れ替えると
P((A∩B∩C)|X)=P(A|B∩C∩X)P(C|B∩X)P(B|X)
↓A→B→C→Aとすると
P((A∩B∩C)|X)=P(B|A∩C∩X)P(A|C∩X)P(C|X)
↓A,Cを入れ替えると
P((A∩B∩C)|X)=P(B|A∩C∩X)P(C|A∩X)P(A|X)
↓A→B→C→Aとすると
P((A∩B∩C)|X)=P(C|A∩B∩X)P(A|B∩X)P(B|X)
↓A,Bを入れ替えると
P((A∩B∩C)|X)=P(C|A∩B∩X)P(B|A∩X)P(A|X)