三角方程式の問題（大学受験）

質問

現在、「三角方程式」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
sin（２θ＋30度）＜1/2
をとけです。

私は、
0度＜＝2θ＋30度＜30度
150度＜2θ＋30度＜360度
を解いて
60度＜θ＜165度
345度＜＝360度
と解いたのですが、
解答は、
60度＜θ＜180度
240度＜θ＜360度
となっていました。
でもどこが間違っているのかわかりません。

私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.2

hinebot · ベストアンサー

0°≦θ≦360°　ですよね？

t= 2θ+30 とおくと
30°≦ t ≦750°　---(1)

sint ＜　1/2 の一般解は
0°+360°n ≦ t ＜30°+360°n
150°+360°n＜ t ≦360°+360°n　　（nは整数）

ですが、360°で一周するので、 0°+360°n　と360°+360°nは　同じ（等しい）として扱えます。よって、
150°+360°n＜ t ＜390°+360°n
とまとめることができます。（ここがポイント）

ここで(1)の範囲にあるものを求めると
150°＜ t ＜390°(n=0 のとき)
510°＜ t ＜750°(n=1 のとき)
となります。

t=2θ+30に戻して計算すると
60°＜ θ ＜180°
240°＜ θ ＜360°
になります。

お礼

hinebot様、さっそく御回答いただきありがとうございました。
＞0°≦θ≦360°　ですよね？
はい、そうです。書き忘れていました。すいません。
「150°+360°n＜ t ＜390°+360°n
とまとめることができます。（ここがポイント）」
のところが少し考えてしまいましたが、なんとかわかりました。でも、まとめるときに間違えそうなので気をつけたいと思います。今回は御回答いただきありがとうございました。

回答No.4

mmky

＃３の訂正のみ
「X=２θ≦３６０度の円周上ですので、θ≦７２０度　の範囲となりθの範囲」は記述間違いでした、ごめん。
訂正
「θ≦３６０度の円周上ですので、X=2θ≦７２０度　の範囲となりの2θの範囲」

お礼

mmky様、さっそく御回答いただきありがとうございました。
申し訳ないのですが、「（１５０＋３６０）度から（７２０＋３０）度ということで、」のご説明の意味がいまいちよくわかりませんでした。30≦2θ＋30≦750ということでしょうか。
今回は御回答いただきありがとうございました。
mmky様、さっそく御回答いただきありがとうございました。
申し訳ないのですが、「（１５０＋３６０）度から（７２０＋３０）度ということで、」のご説明の意味がいまいちよくわかりませんでした。30≦2θ＋30≦750ということでしょうか。
今回は御回答いただきありがとうございました。

回答No.3

mmky

回答はでてますので考え方の参考程度に
sin（２θ＋30度）＜1/2
まず、sinX＜1/2 として
円周に沿って左回りに、連続部分を考えると
Xの範囲は１５０度から（３６０＋３０）度の範囲になりますね。
X=２θ≦３６０度の円周上ですので、θ≦７２０度　の範囲となりθの範囲ではもう一周できるので、えいやと３６０度を両変に加算します、
（１５０＋３６０）度から（７２０＋３０）度ということで、
１５０度＜（２θ＋30度）＜（３６０＋３０）度
（１５０＋３６０）度＜（２θ＋30度）＜（７２０＋３０）度が範囲になり
６０度＜θ＜１８０度
２４０度＜θ＜３６０度
ということになるのですね。余弦や正弦関数は左向きを正として必要な回数何度でも回せばいいんですね。

回答No.1

Kemi33

θの範囲は 0°≦θ≦360° でしょうか？

　そうであれば，30≦2θ＋30≦750 になります。

後はこの条件で解いていくだけだと思います。

お礼

Kemi33様、さっそく御回答いただきありがとうございました。
＞θの範囲は 0°≦θ≦360° でしょうか？
はい、そうです。書き忘れていました。すいません。
2θ＋30とともに範囲が移動するのはわかっていたのですが、いまいち理解不足だったようです。
いろんな方のご説明で理解できました。ありがとうございました。