ガウスの記号の性質を解説します
- xを越えない最大の整数をガウスの記号で表す性質について解説します。
- 自然数の割り算における商と余りの関係について詳しく説明します。
- 証明の一部に関して疑問がある点について解説します。
- ベストアンサー
ガウスの記号の性質
xを任意の実数とするとき、xを越えない最大の整数を[x]であらわす。また自然数bを自然数aで割った商をq,余りをr1,さらに商qをaで割った商q',余りをr2,とすれば。[b/a^2]=[1/a[b/a]]=q'この性質の証明の一部がわかりません。 b=aq+r1,0≦r1<a・・・(1) q=aq'+r2,0≦r2<a・・・(2)とおくと、 b=aq+r1=a(aq'+r2)+r1=a^2q'+ar2+r1・・・(3)。ここからがわからない箇所です。 0≦ar2+r1<a(a-1)+a=a^2 と本にかいてあるのですが、ar2+r1は(3)より、bをa^2で割った余りだから0≦ar2+r1<a^2は納得でき、正しいと思うのですが、(1),(2)よりar2+r1<aa+aとなると思えるのです。r1もr2もともにaより小さいからです。r2がa-1に等しいことはあり得ると思い,<がつくのはおかしいと思ってしまいました。自分の考えは余りの定理からしてもおかしいので、どなたか訂正とar2+r1<a(a-1)+aを説明してください。お願いします。
- situmonn9876
- お礼率91% (646/703)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
r1<a ↓両辺にa(a-1)を加えると a(a-1)+r1<a(a-1)+a…(1) r2<a ↓aは自然数r2は整数だから r2≦a-1 ↓両辺にa>0をかけると ar2≦a(a-1) ↓両辺にr1を加えると ar2+r1≦a(a-1)+r1 ↓これと(1)から ar2+r1≦a(a-1)+r1<a(a-1)+a ↓ ar2+r1<a(a-1)+a
その他の回答 (1)
- f272
- ベストアンサー率46% (8024/17150)
> (1),(2)よりar2+r1<aa+aとなると思えるのです 別に間違っていませんよ。でもこれの右辺はもっと小さくできるのです。ギリギリでどこまで小さくできるかと言えば，それがa^2までということです。 まず0≦r1<aと0≦r1<aですが，<ではなくて≦で表現すれば 0≦r1≦a-1と0≦r1≦a-1 ですね。このまま話を進めます。 ar2+r1≦a(a-1)+(a-1) になりますね。この右辺に+1をすれば，≦ではなくて<になります。 ar2+r1<a(a-1)+(a-1)+1=a^2
お礼
<と≦は整数や自然数という条件があれば、書き換えられるのですね。勉強になりましたありがとうございます。
関連するQ&A
- 整数について
a,bは整数とする (a,b)=1の時 ax+by=1を満たす整数x,yが存在することを示せ で次のように証明してみました。 (1)(a,b)=dの時、ax+by=dを満たす整数x,yが存在するという定理を用 いて考えてみる。 (a,b)=dだからユークリッドの互助法を使ってゆくと最後はdで割り 切れる。計算が次のようになったとする。 a=bq_1+r_1 従ってr_1=a-bq_1・・・(1) b=r_1q_2+r_2 従ってr_2=b-r_1q_2・・・(2) r_1=r_2q_3+r_3 従ってr_3=r1-r_2q_3・・・(3) r_2=r_3q_4+0 (r_3=d) ここで(3)に(2)を代入 d=r_3=r_1-(b-r_1q_2)q_3 =r_1-bq_3+r_1q_2q_3 =r_1(1+q_2q_3)-bq_3・・・(4) (4)のr_1へ(1)を代入 d=(a-bq_1)(1+q_2q_3)-bq_3 =a+aq_2q_3-bq_1-bq_1q_2q_3-bq_3 =a(1+q_2q_3)+(-q_1-q_1q_2q_3-q_3)b (1+q_2q_3)=x , (-q_1-q_1q_2q_3-q_3)=yとおくと d=xa+by 従って(a,b)=ax+by よって(a,b)=1の時にax+by=1となる整数x,yが存在する。 このように証明しました。大丈夫でしょうか？ (2)また、次の定理を使った場合はどう証明しますか。 定理・・自然数a,b(a>b)についてaをbで割りその整商をq、余りをr とするとa=bq+r (0≦r<b) このとき(a,b)=(b,r) この定理を使った場合の証明はなりますか。 よろしくお願いしま す。
- 締切済み
- 数学・算数
- ガウス記号・数列
a_n=[n/2]-[n/4],b_n=[n/3]-[n/6],c_n=a_n+1-b_n+2 ;[]はガウス記号,_は数列を表します。 ここで、実数xに対して、[x]はxを超えない最大の整数を表す。 すなわち[x]はm≦x≦m+1となる整数mである。 a_5=1,a_10=3,b_5=1,b_10=2,c_5=1,c_10=1 である。 (1)すべてのnに対して a_n+r=a_n+1,b_n+s=b_n+1,c_n+t=c_n+1 が成り立つ整数r,s,tを求めよ。 (2)a_n≧10となる最小のn、b_n≧10となる最小のn、c_n≧10となる最小のnを求めよ。 (3)Σ_[k=1,n]a(k)≧100となる最小のn、Σ_[k=1,n]ｂ(k)≧100となる最小のnを求めよ。 どの様なアプローチの仕方をしていいのか分かりませんでした。 解説を宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 必要十分条件
aを実数とし、xの整式A,B,Qを A=x⁴+4x³+(4a-1)x²+(8a-9)x+4a²-11a+6 B=x²+2x+2a-1 Q=x²+2x+2a-4 とする。さらにR=A-BQとおく。このとき (1)Rを求めよ。 (2)BをRで割ったときの商と余りを求めよ。またBがRで割り切れるための必要十分条件を求めよ。 (3)QをRで割ったときの商と余りを求めよ。またQがRで割り切れるための必要十分条件を求めよ。 (4)(2)で求めた必要十分条件はAがRで割り切れるための( )。 ( )に必要十分条件である、必要条件ではあるが十分条件ではない、十分条件ではあるが必要条件ではない、必要条件でも十分条件でもない。のどれが当てはまるか。（証明も） という問題ですが、（1）はR=ｘ-a+2でした。（2）（3）商と余りは出せますがそれ以外の必要条件、十分条件の求め方と書き方が分かりません。（4）は全く手つかずです。すみませんが詳しい解説お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 可換体に関する質問
今日は 問題１－３． ｐを素数とし、 Zp={0,1,2,...,p-1} とします。 a∈Zp、b∈Zpのとき、a○bはa+bをpで割った余りとする。 また、a●bは、a*bをpで割った余りとする。 すると、集合Zpは、○、●のもとで可換体となることを示せ。 回答: 体の条件のうちの大部分は簡単に示せるので省略する。 a≠0のとき、a●b=1となるbの存在を示す。 aは1,2,...,p-1のどれかであるから、pと互いに素である。 よってax+py=1となる整数x,yが存在する。このときx=pq+r (0≦r<p)のような q,rをとると、 apq+ar+py=1 ∴ar=p(-aq-y)+1 よって、arをpで割った余りは１であり、r∈Zpであるから a●r=1. このrをbにとればよい。 上記の回答に関する質問 Q1) 『よってax+py=1となる整数が存在する』とありますが、 その理由を説明して頂けないでしょうか？ Q2) 『体の条件のうちの大部分は簡単に示せるので省略する』 とありますが、省略しないでお教え頂けないでしょうか？ 注）この問題は、ガロア理論入門の１０ページに記載されている問題1-3の ものです。 以上宜しくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 剰余の定理を使った問題について
数学の剰余の定理の質問です。 よろしくお願いします。 「ある整式Ａをx-5で割ると、商がx-4で余りはＲになる。また、Ａをx+3で割ると、商がＱで余りは25になる。このとき余りＲ、商Ｑ、お よび整式Ａを求めよ」 という問題です。 別の質問サイトで、Ｐ(－３）＝２５をＲの入っている式に代入するやり方を教えて頂いたのですが、答えと一致しませんでした・・・。 ちなみに、答えは「Ｒ：43、Ｑ：x-6、Ａ：x2-9x＋43」です。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 割り算の余りと商を求める連立式
ある整式Aをx-5で割ったときの商がｘ-4で余りはRである。 また、Aをｘ+3で割ったときは、商がQで余りは25ある。 このとき、余りR、商Qおよび整式Aを求めよ。 この問題なのですが、どのように解けばいいのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ガロア理論入門の問題について
今日は 毎度、お世話になります。 下記の問題について、再質問させて頂きます。 問題１－３． ｐを素数とし、 Zp={0,1,2,...,p-1} とします。 a∈Zp、b∈Zpのとき、a○bはa+bをpで割った余りとする。 また、a●bは、a*bをpで割った余りとする。 すると、集合Zpは、○、●のもとで可換体となることを示せ。 回答: 体の条件のうちの大部分は簡単に示せるので省略する。 a≠0のとき、a●b=1となるbの存在を示す。 aは1,2,...,p-1のどれかであるから、pと互いに素である。 よってax+py=1となる整数x,yが存在する。このときx=pq+r (0≦r<p)のような q,rをとると、 apq+ar+py=1 ∴ar=p(-aq-y)+1 よって、arをpで割った余りは１であり、r∈Zpであるから a●r=1. このrをbにとればよい。 上記の回答に関する質問 Q1) a○bの可換の証明はどの様になりますか？ 注） a●b可換の証明は、この問題（問題１－３）の回答に示されている通りだと 思いますが、a○bの可換の証明が出来ません。 注）この問題は、ガロア理論入門の１０ページに記載されている問題1-3の ものです。 以上、コメントいただけますと大変あり難いです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 均衡の性質について
４つの線形の微分方程式からなるシステムがあります。 dx_i/dt = f(x_1, x_2, x_3, x4), i={1,...,4} ベクトル表示でy=A*xとします（ｙはdx_i/dtからなる４Ｘ１のベクトル、Ａは４Ｘ４の行列、ｘはx_iからなる４Ｘ１のベクトルです）。 このシステムの均衡点（dx_i/dt = 0)の性質を知るためには、行列Ａのeigenvalueを見ればいいはずですが、Ａが２Ｘ２より大きい場合の判断の仕方が分かりません。 例えば、Ａが２Ｘ２の場合はeigenvalue(r1, r2)によって、r1＞r2＞0 ＝＞unstable, r1<r2<0 =>asymptotically stableなどと分けられるようです。 ４Ｘ４のＡで、eigenvalueが｛a, -b, c, -d}(いずれも正の実数）の均衡点の性質はどのようなのでしょうか？ さらに、 ４Ｘ４のＡで、eigenvalueが｛a, -b+ki, -c-ji, -d}(いずれも正の実数, iは虚数）の均衡点の性質はどのようなのでしょうか？ ぜひよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
分かりやすい解説、ありがとうございます。