ガウスの記号の性質

質問

xを任意の実数とするとき、xを越えない最大の整数を[x]であらわす。また自然数bを自然数aで割った商をq,余りをr1,さらに商qをaで割った商q',余りをr2,とすれば。[b/a^2]=[1/a[b/a]]=q'この性質の証明の一部がわかりません。
b=aq+r1,0≦r1<a・・・(1) q=aq'+r2,0≦r2<a・・・(2)とおくと、
b=aq+r1=a(aq'+r2)+r1=a^2q'+ar2+r1・・・(3)。ここからがわからない箇所です。
0≦ar2+r1<a(a-1)+a=a^2　と本にかいてあるのですが、ar2+r1は(3)より、bをa^2で割った余りだから0≦ar2+r1<a^2は納得でき、正しいと思うのですが、(1),(2)よりar2+r1<aa+aとなると思えるのです。r1もr2もともにaより小さいからです。r2がa-1に等しいことはあり得ると思い,<がつくのはおかしいと思ってしまいました。自分の考えは余りの定理からしてもおかしいので、どなたか訂正とar2+r1<a(a-1)+aを説明してください。お願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

r1<a
↓両辺にa(a-1)を加えると
a(a-1)+r1<a(a-1)+a…(1)

r2<a
↓aは自然数r2は整数だから
r2≦a-1
↓両辺にa>0をかけると
ar2≦a(a-1)
↓両辺にr1を加えると
ar2+r1≦a(a-1)+r1
↓これと(1)から
ar2+r1≦a(a-1)+r1<a(a-1)+a
↓
ar2+r1<a(a-1)+a

お礼

分かりやすい解説、ありがとうございます。

回答No.2

f272

> (1),(2)よりar2+r1<aa+aとなると思えるのです

別に間違っていませんよ。でもこれの右辺はもっと小さくできるのです。ギリギリでどこまで小さくできるかと言えば，それがa^2までということです。
まず0≦r1<aと0≦r1<aですが，<ではなくて≦で表現すれば
0≦r1≦a-1と0≦r1≦a-1
ですね。このまま話を進めます。
ar2+r1≦a(a-1)+(a-1)
になりますね。この右辺に+1をすれば，≦ではなくて<になります。
ar2+r1<a(a-1)+(a-1)+1=a^2

お礼

<と≦は整数や自然数という条件があれば、書き換えられるのですね。勉強になりましたありがとうございます。