ガロア理論入門の問題について

質問

今日は
毎度、お世話になります。
下記の問題について、再質問させて頂きます。

問題１－３．　ｐを素数とし、
　　　　Zp={0,1,2,...,p-1}
　　とします。
　　a∈Zp、b∈Zpのとき、a○bはa+bをpで割った余りとする。
　　また、a●bは、a*bをpで割った余りとする。
　　すると、集合Zpは、○、●のもとで可換体となることを示せ。

回答:
　　体の条件のうちの大部分は簡単に示せるので省略する。
　　a≠0のとき、a●b=1となるbの存在を示す。
　　aは1,2,...,p-1のどれかであるから、pと互いに素である。
　　よってax+py=1となる整数x,yが存在する。このときx=pq+r　(0≦r<p)のような
　　q,rをとると、
　　apq+ar+py=1　∴ar=p(-aq-y)+1
　　よって、arをpで割った余りは１であり、r∈Zpであるから
　　a●r=1.　このrをbにとればよい。

上記の回答に関する質問
Q1)　a○bの可換の証明はどの様になりますか？

　　注）　a●b可換の証明は、この問題（問題１－３）の回答に示されている通りだと
　　　思いますが、a○bの可換の証明が出来ません。

注）この問題は、ガロア理論入門の１０ページに記載されている問題1-3の
　　ものです。
以上、コメントいただけますと大変あり難いです。

回答No.6

NoSleeves

ANo.5 では、「ここまでで、何か疑問点はあるでしょうか」と、「答えは何でしょうか」という、2つの補足要求をしました。
それらに関して、必ず補足欄にコメントしてください。
質問者様の疑問は、回答者の「ひとり喋り」では絶対に解決しません。
ANo.4 を除くすべての回答に対して、補足コメントをくださるようお願いします。

ところで、

ANo.3_(5) の解答で、質問者様は「○ の単位元はなし、●の単位元は１と考えています」と書いています。
前者は不正解で、後者は正解です。
しかし、演算 ○ に関する単位元を「なし」と考えている質問者様が、演算 ● に関する単位元が 1 である理由を、正しく理解しているとは限りません。
そこで、演算 ● に関する単位元が 1 である理由を、簡単でいいですから、補足欄にて説明してください。

回答No.5

NoSleeves

何回かに分けて回答します。
おそらく、長くなると思います。

小学校で足し算と掛け算という演算を習い、記号として、それぞれ + と * を使います。
しかし、この問題は、(Z_p; +, 0; *, 1) が可換体だと主張しているのではありません。
(Z_p; ○, 0; ●, 1) が可換体であることを証明する問題です。
ここまでで、何か疑問点はあるでしょうか。

3 の逆元が 1/3 という、ANo.3_(3) の解答におけるコメントは、3 の逆数は 1/3 という、小学校で教わったことをそのまま述べているだけですよね。
* という既知の演算しか考えないため、R（実数体）や Q（有理数体）における 3 の（乗法に関する）逆元 1/3 をイメージしてしまうのではないでしょうか。
まず、その考えを捨てて下さい。
ANo.3_(3) では、演算 ● に関する 3 ∈ Z_7 の逆元をお尋ねしたのであって、* に関する逆元は最初から眼中にありません。
3 ● a = a ● 3 = 1 を満たす a ∈ Z_7 は、本当に存在しないでしょうか。
3 * a = a * 3 を p = 7 で割ったとき、余りが 1 となる a ∈ Z_7 は、簡単に見つかると思います。
答えは何でしょうか。

補足

MSNがハングアップしましたので、重複するかも知れませんが、
ここに、最終回答を申し上げます。
===============＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
『ガロア理論入門の問題について』のタイトルで質問し、回答を後日連絡
する旨の通知がありましたが、既に問題を解決しましたので、
以後、ご連絡の必要はありません。
お騒がせし、御免なさい。
また、『私の質問を、閉じなさい』とのご指示がありましたが、その内容が
閉じることなく残しておきます。

ここに連絡いたします。

回答No.4

NoSleeves

ANo.3 に対する補足を拝見しました。
失礼ながら、基本がまったく理解できていないようですね。
(1) ～ (5) の解答で、正解数はゼロです。
ガロア理論はもちろん、群や体を基礎から学ぶ土台すら完成していません。
しかし、約束ですから、質問者様の疑問には（これを投稿した後で）お答えします（少し、時間がかかるかも知れませんけれど）。
ここでは、「ANo.3 に対する補足を拝見した」ことだけお伝えしておきます。

回答No.3

NoSleeves

同じようなことを3回質問して、まだ納得していない御様子。
質問者様がどの程度理解できているのか、こちらも把握できません。
それだと回答できないので、こちらからお尋ねします。

(1) 演算 ○ に関して、単位元は何ですか。

(2) 演算 ○ に関して、Z_p の元 a の逆元は何ですか。

(3) p = 7 とします。このとき、演算 ● に関して、Z_p = Z_7 の元 3 の逆元は何ですか。

(4) Z_p が ○, ● のもとで可換体となることを示すには、取り敢えず Z_p が ● に関する単位元を持つ可換環であることを示す必要があります。
そのためには、○ に関して Z_p が可換群になっていることと、● に関して可換モノイドになっていることの他に、もう1つ示すべきことがあります。
それは何ですか。

(5) 以下は体の定義に関する、意外と重要な内容です。
演算 ○ に関しての単位元と、演算 ● に関しての単位元は、一致しても構いませんか。それとも、両者は異なる必要がありますか。

(1) ～ (5) に答えてくだされば、こちらも質問者様の疑問に丁寧にお答えするつもりです。
回答せずに、3回も質問したまま放置するようなら、協力はできません。
その場合、3つとも即座に回答を締め切り、以後は同じ質問をしないことをお奨めします。

補足

毎度お世話になります。

Zp={0,1,...,p}　　＜－－－問題をcopyしました。

それだと回答できないので、こちらからお尋ねします。

(1) 演算 ○ に関して、単位元は何ですか。
　なし

(2) 演算 ○ に関して、Z_p の元 a の逆元は何ですか。
　なし

(3) p = 7 とします。このとき、演算 ● に関して、Z_p = Z_7 の元 3 の逆元は何ですか。
　Z=｛０，１，２，３，４，５，６｝
　1/3と思いますが、それはZの元の中にはありません。

(4) Z_p が ○, ● のもとで可換体となることを示すには、取り敢えず Z_p が ● に関する単位元を持つ可換環であることを示す必要があります。
そのためには、○ に関して Z_p が可換群になっていることと、● に関して可換モノイドになっていることの他に、もう1つ示すべきことがあります。
それは何ですか。
　私の知識では、Zpは、体では無いと考えています、即ち、逆元とマイナス元を持っていないと
　考えています。それゆえ、別の質問をさせて頂いた訳です。

(5) 以下は体の定義に関する、意外と重要な内容です。
演算 ○ に関しての単位元と、演算 ● に関しての単位元は、一致しても構いませんか。それとも、両者は異なる必要がありますか。
　 ○ の単位元はなし、●の単位元は１と考えています。

(1) ～ (5) に答えてくだされば、こちらも質問者様の疑問に丁寧にお答えするつもりです。
回答せずに、3回も質問したまま放置するようなら、協力はできません。
その場合、3つとも即座に回答を締め切り、以後は同じ質問をしないことをお奨めします。

以上、宜しくお願いします。
もし、貴方の説明で問題1-3が理解できれば、私にとりましては、大変は進歩です。

以上

回答No.2

stomachman

ANo.1へのコメントについてです。

> なぜ、この様な記述が必要でしょうか？

　演算●が可換であることは余りにも自明であり、どんな「記述」も必要ないでしょ。しかし、仰るところの「記述」にどんな意義があるかを考察するためには、それが一体どんな「記述」なのか、示してもらわんとな。
　（なお、ご質問に書いてある「回答」は逆元の存在の証明。言うまでもないが、念のため。）

補足

毎度、お世話になります。
>演算●が可換であることは余りにも自明であり、どんな「記述」も必要ないでしょ。しかし、仰るところの「記述」にどんな意義があるかを考察するためには、それが一体どんな「記述」なのか、示してもらわんとな。
　（なお、ご質問に書いてある「回答」は逆元の存在の証明。言うまでもないが、念のため。）
＜－－－　回答は、重複しますが、下記にcopyしておきます。

a ● b=1 が証明されたわけですから、　ａ＝１,...pの範囲にあるとこはZの元として
既知です。ここでｂも、ｂ＝１,...pの範囲にあると思います。故に、b ● a=1と
なり可換が成り立つと、寺田文彦先生は言おうとされたのではないかと私は推測した
訳で、ここら辺のところを理解するために本、投稿をした訳です。

私の理解するところでは、a ● b=1 におけるaの逆元とは、1/aとなり、Zの元ではないように
今までは、理解しておりました。
私は、代数学に付きましては本当の初心者でありますので、ご指導頂ければ
大変あり難いです（尚、ハードウエアーやプログラムに関しましては多少知識があります）。

回答:
　　体の条件のうちの大部分は簡単に示せるので省略する。
　　a≠0のとき、a●b=1となるbの存在を示す。
　　aは1,2,...,p-1のどれかであるから、pと互いに素である。
　　よってax+py=1となる整数x,yが存在する。このときx=pq+r　(0≦r<p)のような
　　q,rをとると、
　　apq+ar+py=1　∴ar=p(-aq-y)+1
　　よって、arをpで割った余りは１であり、r∈Zpであるから
　　a●r=1.　このrをbにとればよい。

以上

回答No.1

stomachman

> Q1)　a○bの可換の証明は

　a○bの定義に出て来る"a+b"の"+"ってのは、普通の自然数の足し算のこと。ですから、
　　a+b = b+a
なので、
　　a○b = (a+b)をpで割った余り = (b+a)をpで割った余り = b○a
です。a●bについても同様。

お礼

早速の回答有難う御座います。
私も、貴方の回答の様に思います。

しかし、問題１－３の『a●bの回答』には、別の回答が記載されています。
（問題1-3の直ぐ下に、その回答が載っています、そしてその問題と回答は、
寺田文彦先生のオリジナルです）
なぜ、この様な記述が必要でしょうか？

注）私は、全くの初心者であり、翻訳者の寺田文彦先生は、トップクラスの
学者だったと思います。

以上

補足

NoSleeve さん
＆　stomachman　さん

＞何回かに分けて回答します。
　おそらく、長くなると思います。
＜－－正解率０の件を含めて了解しました。

もし、回答が長くなるようならば、私のメールアドレスを連絡することも出来ます。
（このサイトの、規則に違反しないならばの話ですが）
又は、pdfで教えて頂いても結構です。

以上、宜しくお願いします。