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割り算の問題
a,bを自然数とし、aを8で割った余りをr、bを8で割った余りをsとする。 a＋bを8で割った余りとr＋sを8で割った余りが等しいことを示せ。 【解答】 a,bをそれぞれ8で割ったときの商をp,qとすると、 a=8p＋r b=8q＋s とあらわせる。 よってa＋b=8(p＋q)＋r＋s 証明完了」 どうしてこれで証明完了なんでしょうか？これではa＋bを8で割ったら余りがr＋sということだけしか分からないのではないですか？ どうして余りが等しいということが言えるのでしょうか？
- orangegirl
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a＋b=8(p＋q)＋r＋s では a＋bを8で割ったら余りがr＋sなどとはならないかと。 両辺を８で割るとわかるのかな？ (a+b)/8 = (p+q) + (r+s)/8 つまり(a+b)/8の商は(p+q) + (r+s)/8（ただし余りも含む）です。 商は自然数ですので(p+q)は自然数。 ここで余りが発生するのは (r+s)/8の余りだけです。 つまり(a+b)/8の余りは(r+s)/8の余りとイコールです。
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- kapiyoko
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a＋b=8(p＋q)＋r＋s という最後の式の表していることは a＋bは8の倍数＋(r＋s) ということなので それを8で割ったときの余りを求めると 8の倍数の部分は割り切れるので r+sを8で割ったときの余りと一緒だよ ということです。 どうでしょうか。
- mira_jun
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r+sを8で割った商をt、余りをuとすると、 r+s=8t+u と表せます。 よって、 a+b=8(p+q)+r+s=8(p+q)+8t+u=8(p+q+t)+u となるので、 a+bを8で割った余りもuとなります。 ここまでで完了とすべきですかね。どうでしょう。
- sunasearch
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a＋b=8(p＋q)＋r＋s から、(p+q)は８で割り切れますよね。 ですから、a+bを８で割った余りは、残りのr+sを８で割った時の余りに等しくなる、ということです。 ８で割るということは、何かを８人で分けっこして、余った分が余りとして考えられます。 8(p+q)は、一人にp+qずつ８人に余りなく分けられます。 r+sは、８より小さければ、それがそのまま余りになりますが、８以上の場合には、r+sを８人で分けて、その時の残りが余りになります。 ですから、a+bを８で割った時の余りは、r+sを８で割った時の余りに等しくなるので、もともとの問題の証明ができたことになるのです。
- fine_day
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たとえば、r＋sを8で割った商がt、余りがuとします。 r＋s=8t＋u これを代入すると a＋b=8(p＋q)＋r＋s =8(p＋q)＋8t＋u =8(p＋q＋t)＋u これより、a＋bを8で割った余りはr＋sを8で割った余り(u)に等しいことがわかります。 【解答】はその先は書かずともわかる…と言いたいのかもしれませんね。
- ymmasayan
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ここまで書くとあとは自明の理ということでしょう。 もう一行付け加えると、余りを出す演算子を％で表すとすると (ａ＋ｂ)％８＝（８(ｐ＋ｑ)＋ｒ＋ｓ)％８＝(ｒ＋ｓ)％８・・・証明完了
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