高校数学Iの問題です

質問

正式P(x)をx^2+1,x-3で割った余りが、それぞれ5x+3,-2であるとき、P(x)を(x^2+1)(x-3)で割った余りはax^2+5x+bである。このとき、a,bを求めよ。
という問題があります。

これに対する模範解答が以下になっていました。

P(x)をx^2+1 x-3で割った商をQ1(x),Q2(x)とすると
P(x)=(x^2+1)* Q1(x)+5x+3━(1)
P(x)=(x-3)*Q2(x)-2━(2)

P(x)を(x^2+1)(x-3)で割った商をQ(x)とすると
P(x)=(x^2+1)(x-3)*Q(x)＋ax^2+5x+b━(3)
(2),(3)よりP(3)=-2=9a+15+b ∴9a+b=-17━(A)
(3)よりP(x)=(x^2+1)(x-3)*Q(x)+a(x^2+1)+5x+b-a
　　　　　 =(x^2+1)((x-3)*Q(x)+a)+5x+b-a━(4)
(1)(4)よりx^1+1で割った余りが一致するので
5x+3=5x+b-a　∴-a+b=3━(B)
(A)(B)より　a=-2,b=1

これについて回答下部に
「(1)(4)よりx^1+1で割った余りが一致するので」
とあるのですが、何故一致するのかわかりません。
また最初、割った商をQ1(x)やQ(x)としていますが、商についてはαなどの文字一つで置いてしまってはいけないのでしょうか？
宜しければご教授ください。

回答No.3

youtkey

この問題は数学IIの因数定理の問題ですよ。
因数定理を習えばよくわかると思います。

回答No.2

u-tanaka

時々、数学・物理に顔を出しています。

さて、質問の件ですが、(x^1+1)ではなく、(X^2+1)だったらどうでしょう。
(1)式は、P(x)=(X^2+1)*Q1(x)+5x+3ですよね？
(3)式は、最後にP(x)=(x^2+1){(x-3)*Q(x)+a}+5x+b-aですね。

さて、この両式を見比べてみれば・・余りは、どうでしょう。
また、商をαと置いてもかまいませんが、果たしてこの式の次数は、分かりますか？（確かに、整数論ではαとおく場合もあります・・それは、大学へ行ってからのお楽しみ）。

そんなわけで、αと置かずにP(x)やQ(x)ととりあえず置く事になっているのです。

お礼

回答有難うございます。
おかげ様で解決できました！

回答No.1

info22

>「(1)(4)よりx^1+1で割った余りが一致するので」
> とあるのですが、何故一致するのかわかりません。

式(1)と式(4)を良く観察して、比較すれば分かることです。
P(x)=(x^2+1)* Q1(x)+5x+3━(1)
　　=(x^2+1)((x-3)*Q(x)+a)+5x+b-a━(4)

同じ式P(x)を(x^2+1)で割った式の形をしていますから
P(x)を(x^2+1)で割った商と余りは(1)と(4)で同じですから
商：Q1(x)=((x-3)*Q(x)+a)
余り：5x+3=5x+b-a
がそれぞれ同じ式であるはずですね。

＞商についてはαなどの文字一つで置いてしまってはいけないのでしょうか？
駄目です。定数か、xの関数か、を明確に表す表現を使わないといけません。αとおいたら、定数と見なされます。100歩譲ってもαにx=3を代入したときのαや一般のxに対するαを明示的に（見ただけで分かるように）、区別して表現が出来ません。

お礼

２つの質問への答え、よくわかりました。
一致の方は観察がたりなかったようですね・・・汗
そしてもうひとつの方、一文字では定数と見なされてしまうのですね。
xの関数だということを表すよう注意します。
大変有難うございました。