完全微分についての質問です

質問

dF=(x^2-y)dx+xdy
dG=dF/x^2
それぞれが完全微分かどうか判定せよ
この問題が分かりません…

回答No.1

jamf0421 · ベストアンサー

与えられたdFの式がFの全微分ならば
∂F/∂x=x^2-y...(i)
∂F/∂y=x...(ii)
となります。そこで互いに変数を入れ替えてもう一度微分すると
∂^2F/∂y∂x=-1...(iii)
∂^2F/∂x∂y=1...(iv)
です。ところで完全微分の条件は
∂^2F/∂y∂x=∂^2F/∂x∂y...(v)
ですから、dFは完全微分の条件を満たしていません。次に
ｄG=dF/x^2=(1-y/x^2)dx+(1/x)dy...(vi)
の場合
∂G/∂x=1-y/x^2...(vii)
∂G/∂y=1/x...(viii)
ですから
∂^2G/∂y∂x=-1/x^2...(ix)
∂^2G/∂x∂y=-1/x^2...(x)
となります。(ix), (x)は(v)を満たしています。よってこちらは完全微分です。

お礼

ありがとうございます。