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微分方程式
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xdy/dx=y+√(x^2+y^2) この与えられた微分方程式の両辺に 1/x を乗ずる. dy/dx=y/x+(1/x)√(x^2+y^2) 変形すると dy/dx=y/x+√[(1/x^2)(x^2+y^2)] dy/dx=y/x+√(1+y^2/x^2) ここで, u=y/x とおく.この u=y/x の両辺を微分すると, du/dx=(xy'-y)/x^2 となる.y' は dy/dx を表す. y' について解くと, x^2 du/dx+y=xy' y'=x du/dx+y/x u=y/x を用いると, y'=dy/dx=x du/dx+u これにより微分方程式 dy/dx=y/x+√(1+y^2/x^2) は, dy/dx=y/x+√(1+y^2/x^2)=x du/dx+u u=y/x だから,この式は, u+√(1+u^2)=x du/dx+u したがって, x du/dx=√(1+u^2) となる.この式を変形して,積分する. du/√(1+u^2)=1/x dx c を積分定数として積分すると, ∫du/√(1+u^2)=∫1/x dx+c log[u+√(1+u^2)]=log(x)+c ここで, c=log(C), (C≠0) とすると, log[u+√(1+u^2)]=log(x)+log(C) log[u+√(1+u^2)]=log(Cx) 自然対数 log(・) をはずして, u+√(1+u^2)=Cx となります.u=y/x なので,これにより y/x+√[1+(y/x)^2]=Cx これが,与えられた微分方程式の一般解です.変形して y+√[x^2+y^2]=Cx^2 とも書けます.この一般解を微分して得られる式と, 一般解の y+√[x^2+y^2]=Cx^2 から C を消去すると, 与式:xdy/dx=y+√(x^2+y^2)となります.
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- Tacosan
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同次形の微分方程式だなぁ. y = ux (u は x の関数) とおく.
お礼
同次形ってあの複雑なやつかぁ↓
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お礼
すごく、わかりやすいです。ありがとうございます。